Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2 n+1)}}
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2 n+1)}}
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar comparação assintótica / teste da comparação de limite.
Passo 2
Para entender o comportamento de
quando
é grande, fatoramos:
Como
quando
, fica claro que
Passo 3
Agora aplicamos o teste da comparação de limite com a série harmônica
, que sabemos divergir. Calculamos
Como esse limite é um número real positivo finito, as duas séries têm o mesmo comportamento: divergem.
Resposta
A série
diverge.