Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2 n+1)}}

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1raizn(2n+1)
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos usar comparação assintótica / teste da comparação de limite.

Passo 2

Para entender o comportamento de an=1raizn(2n+1) quando n é grande, fatoramos:
an =1raizn,(2n+1) =1raiz2n^2+n =1raiz2,n,raiz1+12n
Como raiz1+12nto1 quando ntoinfty, fica claro que
ansim1raiz2,n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da comparação de limite com a série harmônica sum1n, que sabemos divergir. Calculamos
limntoinftyantfrac1n =limntoinfty1raizn(2n+1)1n =limntoinftynraizn(2n+1) =limntoinftyraizn2n+1 =1raiz2neq0
Como esse limite é um número real positivo finito, as duas séries têm o mesmo comportamento: divergem.

Resposta

A série sumn=1^infty1raizn(2n+1) diverge.

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