Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{(2 n+1)}-\frac{(2 n-1)}{2 n}\right]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyl[22n+1-2n-12nr]
O conteúdo aqui é o teste da divergência: se o termo geral não tende a zero, a série necessariamente diverge.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral
an = 22n+1-2n-12n
Note que
limntoinfty22n+1=0 e limntoinfty2n-12n=1,
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limntoinftyan = 0 - 1 = -1 neq 0

Passo 3

Como o termo geral não tende a zero, a série não satisfaz a condição necessária para convergir. Pelo teste da divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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