Estude a convergência da sequência abaixo:
(-1)^n 2^n-13^n-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da sequência (-1)^n 2^n-13^n-5. Isso está dentro do conteúdo de sequences e séries, especificamente sobre convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão geral da sequência:
an = (-1)^n 2^n-13^n-5
Aqui, temos um termo alternado por causa de $ (-1)^n $, e potências de 2 no numerador e 3 no denominador. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com $ a_n $ quando $ n $ fica muito grande, ou seja, encontrar (-1)^n .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Observe que:
2^n-1 = 2^n2
Então, podemos reescrever $ a_n $ assim:
an
Agora, vamos analisar o denominador an = (-1)^n cdot 2^n23^n-5 = (-1)^n 2^n2(3^n-5) . Para valores grandes de $ n $, o termo $ 3^n $ domina, então $ 3^n - 5 \approx 3^n $.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão de $ a_n $, temos:
an
Agora, vamos focar no termo an approx (-1)^n 2^n2 cdot 3^n = (-1)^n2 (23)^n . Sabemos que (23)^n é um número menor que 1, e quando elevamos um número menor que 1 a uma potência cada vez maior, o resultado tende a zero.

Passo 5

Além disso, o fator $ (-1)^n $ apenas alterna o sinal da sequência, mas não afeta o módulo. Como (-1)^n tende a zero, o produto também tende a zero, independentemente do sinal.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
limn to infty an = 0
Isso significa que a sequência $ \left{\frac{(-1)^{n} 2{n-1}}{3{n}-5}\right} $ converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência $ \left{\frac{(-1)^{n} 2{n-1}}{3{n}-5}\right} $ converge e seu limite é 0.

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