Estude a convergência da sequência abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar a convergência da sequência
. Isso está dentro do conteúdo de sequences e séries, especificamente sobre convergência de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o limite de uma sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão geral da sequência:
Aqui, temos um termo alternado por causa de $ (-1)^n $, e potências de 2 no numerador e 3 no denominador. Nosso objetivo é descobrir o que acontece com $ a_n $ quando $ n $ fica muito grande, ou seja, encontrar
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Observe que:
Então, podemos reescrever $ a_n $ assim:
Agora, vamos analisar o denominador
. Para valores grandes de $ n $, o termo $ 3^n $ domina, então $ 3^n - 5 \approx 3^n $.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão de $ a_n $, temos:
Agora, vamos focar no termo
. Sabemos que
é um número menor que 1, e quando elevamos um número menor que 1 a uma potência cada vez maior, o resultado tende a zero.
Passo 5
Além disso, o fator $ (-1)^n $ apenas alterna o sinal da sequência, mas não afeta o módulo. Como
tende a zero, o produto também tende a zero, independentemente do sinal.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Isso significa que a sequência $ \left{\frac{(-1)^{n} 2{n-1}}{3{n}-5}\right} $ converge e seu limite é 0.
Resposta
A sequência $ \left{\frac{(-1)^{n} 2{n-1}}{3{n}-5}\right} $ converge e seu limite é 0.