Estude a convergência da sequência abaixo:
raiz[n]1+a n, a in I R *

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por raiz[n]1 + a cdot n, onde a é um número real diferente de zero ( a in R^*). Nosso objetivo é estudar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando n fica muito grande.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de sequências, especialmente com raízes enésimas.
O que vamos precisar: Entender como calcular o limite de uma sequência que envolve raízes enésimas e manipular expressões matemáticas para simplificar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que seja mais fácil de trabalhar:
raiz[n]1 + a cdot n = (1 + a cdot n)^1n

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão quando n tende ao infinito:
limn to infty (1 + a cdot n)^1n

Passo 4

Para facilitar, vamos analisar separadamente os componentes da expressão (1 + a cdot n)^1n.
Podemos escrever isso como:
(1 + a cdot n)^1n = (a cdot n cdot (1 + 1a cdot n))^1n

Passo 5

Usando propriedades das potências, separamos a expressão:
(a cdot n cdot (1 + 1a cdot n))^1n = (a cdot n)^1n cdot (1 + 1a cdot n)^1n

Passo 6

Agora, vamos analisar cada parte separadamente.
  1. Primeira parte: (a cdot n)^1n
    Podemos reescrever isso como:
    (a)^1n cdot n^1n
    Sabemos que:
    • limn to infty a^1n = 1, porque qualquer número diferente de zero elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.
    • limn to infty n^1n = 1, pois a raiz enésima de n tende a 1 quando n cresce sem limite.
    Portanto,
    limn to infty (a cdot n)^1n = 1 cdot 1 = 1
  2. Segunda parte: (1 + 1a cdot n)^1n
    Aqui, como 1a cdot n tende a zero quando n tende ao infinito, podemos aproximar a expressão:
    (1 + 1a cdot n)^1n approx 1^1n = 1
    Portanto,
    limn to infty (1 + 1a cdot n)^1n = 1

Passo 7

Agora, juntando as duas partes:
limn to infty (1 + a cdot n)^1n = limn to infty (a cdot n)^1n cdot limn to infty (1 + 1a cdot n)^1n = 1 cdot 1 = 1

Resposta

A sequência raiz[n]1 + a cdot n converge para 1 quando n tende ao infinito.

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