Estude a convergência da sequência abaixo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
, onde
é um número real diferente de zero (
). Nosso objetivo é estudar se essa sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de um valor específico quando
fica muito grande.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites de sequências, especialmente com raízes enésimas.
O que vamos precisar: Entender como calcular o limite de uma sequência que envolve raízes enésimas e manipular expressões matemáticas para simplificar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência de uma forma que seja mais fácil de trabalhar:
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Passo 4
Para facilitar, vamos analisar separadamente os componentes da expressão
.
Podemos escrever isso como:
Passo 5
Usando propriedades das potências, separamos a expressão:
Passo 6
Agora, vamos analisar cada parte separadamente.
-
Primeira parte:Podemos reescrever isso como:Sabemos que:
-
, porque qualquer número diferente de zero elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1. -
, pois a raiz enésima de tende a 1 quando cresce sem limite.
Portanto, -
-
Segunda parte:Aqui, como
tende a zero quando tende ao infinito, podemos aproximar a expressão: Portanto,
Passo 7
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
A sequência
converge para 1 quando
tende ao infinito.