Estude a convergência da sequência abaixo:
n!-1n!+1

Passo 1

A sequência dada é an = n! - 1n! + 1. O assunto aqui é estudo de convergência de sequência numérica: vamos precisar de definição de limite de sequência, cálculo do limite por manipulação algébrica, e também do teorema que diz que toda sequência monótona e limitada é convergente.

Passo 2

Para calcular o limite de an quando n to infty, dividimos numerador e denominador por n!:
an = n! - 1n! + 1 = 1 - tfrac1n!1 + tfrac1n!
Como n! to infty quando n to infty, temos tfrac1n! to 0. Logo
limntoinfty an = 1 - 01 + 0 = 1

Passo 3

Para aplicar o teorema da convergência monótona, mostramos primeiro que an < 1 para todo n. De fato, como n! + 1 > n! - 1, segue-se imediatamente que n! - 1n! + 1 < 1.
Agora mostramos que a sequência é crescente, ou seja, an+1 > an. Calculamos
an+1 = (n+1)! - 1(n+1)! + 1 = (n+1)n! - 1(n+1)n! + 1
Depois fazemos a diferença pelo método de comparação de frações: o numerador da diferença
((n+1)n! - 1)(n! + 1) - (n! - 1)((n+1)n! + 1)
expande-se e reduz-se a 2n,n!, que é positivo para todo n >= 1. Como o denominador também é positivo, concluímos que an+1 - an > 0, ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Tendo (an) limitada superiormente por 1 e sendo crescente, pelo teorema de convergência de sequências monótonas ela converge. Sabendo que o único candidato para limite é 1, concluímos que limntoinftyan = 1.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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