Estude a convergência da sequência abaixo:
Passo 1
A sequência dada é
. O assunto aqui é estudo de convergência de sequência numérica: vamos precisar de definição de limite de sequência, cálculo do limite por manipulação algébrica, e também do teorema que diz que toda sequência monótona e limitada é convergente.
Passo 2
Para calcular o limite de
quando
, dividimos numerador e denominador por
:
Como
quando
, temos
. Logo
Passo 3
Para aplicar o teorema da convergência monótona, mostramos primeiro que
para todo
. De fato, como
, segue-se imediatamente que
.
Agora mostramos que a sequência é crescente, ou seja, . Calculamos
Agora mostramos que a sequência é crescente, ou seja,
Depois fazemos a diferença pelo método de comparação de frações: o numerador da diferença
expande-se e reduz-se a
, que é positivo para todo
. Como o denominador também é positivo, concluímos que
, ou seja, a sequência é estritamente crescente.
Tendo limitada superiormente por 1 e sendo crescente, pelo teorema de convergência de sequências monótonas ela converge. Sabendo que o único candidato para limite é 1, concluímos que
.
Tendo
Resposta
A sequência converge e seu limite é 1.