Estude a convergência da sequência:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a sequência
converge ou não. Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, e vamos precisar usar um pouco de álgebra e propriedades dos logaritmos para resolver. Vamos passo a passo entender o que acontece quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa o limite dessa sequência quando
tende ao infinito:
Nosso objetivo é descobrir qual valor essa expressão se aproxima conforme
fica grande.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos usar o logaritmo natural. Sabemos que o logaritmo de uma expressão nos ajuda a transformar potências em multiplicações, o que geralmente simplifica os cálculos. Então, vamos chamar o limite de
e aplicar o logaritmo:
Usando a propriedade do logaritmo
, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o termo
quando
tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de
,
. Como
fica bem pequeno quando
cresce, podemos aproximar:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite
. Conforme
cresce,
cresce muito mais rápido, fazendo com que
se aproxime de zero. Assim:
Passo 6
Se
, então podemos encontrar
elevando
a ambos os lados da equação:
Resposta
A sequência
converge para 1 quando
tende ao infinito.