Estude a convergência da sequência:
an=(1+2n)^1 / n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar se a sequência an = (1+2n)^1 / n converge ou não. Aqui, estamos trabalhando com sequências e limites, e vamos precisar usar um pouco de álgebra e propriedades dos logaritmos para resolver. Vamos passo a passo entender o que acontece quando n fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que significa o limite dessa sequência quando n tende ao infinito:
limn to infty (1+2n)^1 / n
Nosso objetivo é descobrir qual valor essa expressão se aproxima conforme n fica grande.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos usar o logaritmo natural. Sabemos que o logaritmo de uma expressão nos ajuda a transformar potências em multiplicações, o que geralmente simplifica os cálculos. Então, vamos chamar o limite de L e aplicar o logaritmo:
ln L = limn to infty ln((1+2n)^1 / n)
Usando a propriedade do logaritmo ln(a^b) = b cdot ln(a), temos:
ln L = limn to infty 1n cdot ln(1+2n)

Passo 4

Agora, vamos analisar o termo ln(1+2n) quando n tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de x, ln(1+x) approx x - x^22 + dots. Como 2n fica bem pequeno quando n cresce, podemos aproximar:
ln(1+2n) approx 2n
Portanto, substituindo na expressão anterior:
ln L approx limn to infty 1n cdot 2n = limn to infty 2n^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite limn to infty 2n^2. Conforme n cresce, n^2 cresce muito mais rápido, fazendo com que 2n^2 se aproxime de zero. Assim:
ln L = 0

Passo 6

Se ln L = 0, então podemos encontrar L elevando e a ambos os lados da equação:
L = e^0 = 1

Resposta

A sequência an = (1+2n)^1 / n converge para 1 quando n tende ao infinito.

Exercícios relacionados