Estude a convergência da sequência
an=ln (n^2+2)-ln (2 n^2+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência definida por an=lnl(n^2+2r)-lnl(2n^2+1r). Estamos no tópico de sequências reais e vamos precisar de propriedades de logaritmo e do cálculo de limite de funções para estudar convergência.

Passo 2

Para simplificar, usamos a propriedade ln A - ln B = lntfracAB. Assim
an=ln(n^2+22n^2+1)

Passo 3

Agora analisamos o limite do quociente dentro do logaritmo:
n^2+22n^2+1=1+2/n^22+1/n^2xrightarrow[ntoinfty]1+02+0=tfrac12

Passo 4

Como o logaritmo é uma função contínua, temos
an=lnl(tfracn^2+22n^2+1r)xrightarrow[ntoinfty]lnl(tfrac12r)=-ln2

Passo 5

Para reforçar, podemos ver que an é estritamente decrescente (derivada negativa em x>0) e está sempre acima de seu limite -ln2, portanto é limitada e monótona e converge para -ln2.

Resposta

-\ln2

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