Estude a convergência da sequência
an=nraizn^2+4 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência an = nraizn^2 + 4n. O conteúdo envolve análise de sequência: vamos verificar se ela é limitada, monotônica e, em seguida, encontrar o limite.

Passo 2

Para simplificar an, fatoramos n^2 debaixo da raiz:
an = nraizn^2 + 4n = nraizn^2l(1 + 4nr) = n|n|raiz1 + 4n
Como n>0 para todo ninN, temos |n|=n, então
an = 1raiz1 + 4n

Passo 3

Agora, note que quando n aumenta, 4n diminui, logo 1+tfrac4n diminui e 1raiz1+tfrac4n aumenta. Assim a sequência é estritamente crescente. Além disso, para todo n,
0 < an = 1raiz1 + tfrac4n < 1
Logo (an) é limitada acima por 1 e é crescente.

Passo 4

Pelo Teorema de Convergência de sequências monótonas, uma sequência crescente e limitada converge. Para achar o limite, basta observar o comportamento de an quando ntoinfty:
limntoinfty an = limntoinfty 1raiz1 + tfrac4n = 1raiz1+0 = 1

Resposta

A sequência é crescente, limitada superiormente por 1 e converge para 1.

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