Estude a convergência da sequência
an=raizn+19 n+3

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an=raizn+19n+3 e pede para estudar sua convergência. O conteúdo é sobre limite de sequência de termos negativos e positivos envolvendo radiciação, e vamos precisar usar as regras de limite para sequência racional e a continuidade da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro focamos no radicando, que é uma sequência racional bn=n+19n+3. Para encontrar limntoinftybn, dividimos numerador e denominador por n, lembrando que para n>0 isso é válido:
limntoinftyn+19n+3=limntoinfty1+1n9+3n=1+09+0=19
Agora aplicamos a raiz quadrada, usando que a função f(x)=raizx é contínua em [0,infty). Assim,
limntoinftyan=limntoinftyraizbn=raizlimntoinftybn=raiztfrac19=tfrac13
Concluímos que a sequência (an) é convergente e seu limite é finito.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=tfrac13.

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