Estude a convergência da sequência para diferentes valores de : e (sugestão: caso escreva e use a Desigualdade de Bernoulli; caso faça o mesmo com o número ).
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência em função do parâmetro real . O conteúdo principal é limite de sequência e crescimento/exponenciação. Vamos usar desigualdade de Bernoulli para (escrevendo ) e para usar . Nos demais casos usamos análise de módulo e oscilações.
Passo 2
Caso . Escreva com . A Desigualdade de Bernoulli afirma que
Como quando , segue . Logo (não converge no sentido usual).
Passo 3
Caso . A sequência é para todo , logo
Passo 4
Caso . Se , então para e o limite é . Se , note que , e pelo caso anterior . Então
Passo 5
Caso . Escreva com . Então
e como faz com que o sinal de seja , a sequência tende a .
Passo 6
Caso . Aqui , que oscila entre e sem se aproximar de um único valor. Logo não há limite.
Passo 7
Caso . Escreva com . Então , e pelo caso vemos . Além disso o sinal alterna em (-1)^n, logo a^n diverge sem limite.
Resposta
Para a>1: limntoinfty a^n = +infty (diverge).
Para a=1: limntoinfty a^n = 1.
Para 0<= a<1: limntoinfty a^n = 0.
Para -1<a<0: limntoinfty a^n = 0.
Para a=-1: a^n = (-1)^n oscila, não converge.
Para a<-1: |a^n| to +infty com sinal alternante, não converge.