Estude a convergência da sequência (a^n) para diferentes valores de a : a>1, a=1,0 <= a< 1,-1<a<0, a=-1 e a<-1 (sugestão: caso a>1 escreva a=1+h e use a Desigualdade de Bernoulli; caso 0<a<1 faça o mesmo com o número 1 / a ).

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência l(a^nr) em função do parâmetro real a. O conteúdo principal é limite de sequência e crescimento/exponenciação. Vamos usar desigualdade de Bernoulli para a>1 (escrevendo a=1+h) e para 0<a<1 usar 1/a>1. Nos demais casos usamos análise de módulo e oscilações.

Passo 2

Caso a>1. Escreva a=1+h com h>0. A Desigualdade de Bernoulli afirma que
(1+h)^n >= 1 + nh
Como nhto+infty quando ntoinfty, segue (1+h)^nto+infty. Logo limntoinftya^n=+infty (não converge no sentido usual).

Passo 3

Caso a=1. A sequência é a^n=1^n=1 para todo n, logo
limntoinftya^n=1

Passo 4

Caso 0<= a<1. Se a=0, então a^n=0 para n>=1 e o limite é 0. Se 0<a<1, note que 1/a>1, e pelo caso anterior limntoinfty(1/a)^n=+infty. Então
a^n = 1(1/a)^nlongrightarrow 0

Passo 5

Caso -1<a<0. Escreva a=-|a| com |a|in(0,1). Então
|a^n| = |a|^n longrightarrow 0
e como -1<a<0 faz com que o sinal de a^n seja (-1)^n, a sequência tende a 0.

Passo 6

Caso a=-1. Aqui a^n = (-1)^n, que oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de um único valor. Logo não há limite.

Passo 7

Caso a<-1. Escreva a=-(1+h) com h>0. Então |a|=1+h>1, e pelo caso a>1 vemos l|a^nr|to+infty. Além disso o sinal alterna em (-1)^n, logo a^n diverge sem limite.

Resposta

Para a>1: limntoinfty a^n = +infty (diverge).
Para a=1: limntoinfty a^n = 1.
Para 0<= a<1: limntoinfty a^n = 0.
Para -1<a<0: limntoinfty a^n = 0.
Para a=-1: a^n = (-1)^n oscila, não converge.
Para a<-1: |a^n| to +infty com sinal alternante, não converge.

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