Estude a convergência das sequências abaixo. \left\{\frac{20}{n}\right\}
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência \left\{\frac{20}{n}\right\}.\n
Informações dadas:
\text{a sequência é } a_n=\frac{20}{n}\text{, definida para }n=1,2,3,\dots
Não há outras condições. A tarefa é verificar se existe um número L tal que a_n tende para L quando n\to\infty, e identificar esse L se existir.
Passo 2
Intuição antes da prova formal (ajuda muito para sentir o comportamento):
Para n=1 temos a_1=\frac{20}{1}=20.
Para n=2 temos a_2=\frac{20}{2}=10.
Para n=5 temos a_5=\frac{20}{5}=4.
Para n=10 temos a_{10}=\frac{20}{10}=2.
Para n=100 temos a_{100}=\frac{20}{100}=0,2.
A tendência é clara: conforme n cresce, o denominador cresce e a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero. Então a hipótese natural é que a sequência converge para 0.
Passo 3
Vou apresentar a definição formal de convergência que usaremos (essa é a ferramenta padrão em provas):
\text{Dizemos que }a_n\to L\text{ quando }n\to\infty\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_n-L|<\varepsilon.
Explicando em palavras: dado qualquer grau de precisão \varepsilon (por menor que seja), conseguimos escolher um índice N a partir do qual TODOS os termos da sequência ficam dentro da distância \varepsilon do número L.
Passo 4
Agora aplico a definição ao nosso caso, tentando provar que L=0 é o limite.
Calcule a distância entre a_n e 0:
|a_n-0|=\left|\frac{20}{n}\right|=\frac{20}{n},
já que \frac{20}{n}>0 para todo n.
Queremos que \frac{20}{n}<\varepsilon. Isso é equivalente a
n>\frac{20}{\varepsilon}.
Para transformar isso numa escolha de N inteiro, tomamos o teto (ceiling):
N=\left\lceil\frac{20}{\varepsilon}\right\rceil.
Aqui \lceil x\rceil significa o menor inteiro maior ou igual a x. Assim N é um número natural e satisfaz N\ge\frac{20}{\varepsilon}.
Se n\ge N então n\ge\frac{20}{\varepsilon} e, portanto,
\frac{20}{n}\le\frac{20}{N}\le\varepsilon.
Logo |a_n-0|\le\varepsilon para todo n\ge N. Isso prova, pelo critério \varepsilon-N, que a_n\to 0 quando n\to\infty.
Observação: no critério usamos \le\varepsilon em vez de <\varepsilon; isso não é problema, pois se conseguimos ficar \le\varepsilon então também satisfazemos a exigência da definição (e \varepsilon é arbitrário).
Passo 5
Complemento útil para a prova e para a prova oral em exames: propriedades da sequência que confirmam a conclusão.
Monotonicidade: para todo n\ge1,
a_{n+1}=\frac{20}{n+1}<\frac{20}{n}=a_n,
então a sequência é estritamente decrescente.
Limitada inferiormente: todos os termos são positivos, então a_n>0 para todo n, ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0.
Pelo teorema (que costuma ser apresentado em cursos): “uma sequência monótona e limitada converge”, podemos concluir também que \{a_n\} converge. O sócio natural desse limite, dada a tendência vista nos valores e pela prova \varepsilon-N, é 0.
Passo 6
Dicas práticas para a prova: quando tiver uma sequência tipo \frac{C}{n} com C constante,
a intuição imediata é que tende a 0;
para formalizar, use a desigualdade \frac{C}{n}<\varepsilon\Rightarrow n>\frac{C}{\varepsilon} e escolha N=\lceil C/\varepsilon\rceil;
alternativamente, comente monotonicidade e limite inferior para justificar a convergência rápido em questões que aceitam argumentos qualitativos.
Resposta
Converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{20}{n}=0