Estude a convergência das sequências abaixo.
\left\{\frac{2 n}{2^{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\frac{2 n}{2^{n}}\right\} e pede para estudar sua convergência. Ou seja:
  • Dados: a sequência cujo n-ésimo termo é a_n=\frac{2n}{2^{n}}, com n\in\mathbb{N} (assumimos n=1,2,3,\dots).
  • Pergunta: a sequência converge? Se sim, qual é o seu limite quando n\to\infty?

Passo 2

Vamos olhar alguns termos iniciais para ganhar intuição (contando tudo em TeX):
a_1=\frac{2\cdot 1}{2^{1}}=\frac{2}{2}=1,\qquad a_2=\frac{2\cdot 2}{2^{2}}=\frac{4}{4}=1,
a_3=\frac{2\cdot 3}{2^{3}}=\frac{6}{8}=0,75,\qquad a_4=\frac{8}{16}=0,5,\\ \text{etc.}
Percebe-se que os termos são positivos e, a partir de certo ponto, parecem decrescer rapidamente. Isso já sugere que talvez a sequência tenda a zero.

Passo 3

Uma ferramenta simples e útil é comparar termos consecutivos. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{2(n+1)}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{2n}{2^{\,n}}} = \frac{2(n+1)}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{\,n}}{2n} = \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}+\frac{1}{2n}.
Então a razão \frac{a_{n+1}}{a_n} tende, quando n\to\infty, ao valor
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação didática dessa razão: como \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\tfrac{1}{2}<1, isso indica que, para n grande, cada termo é aproximadamente metade do anterior — ou seja, a sequência decai geometricamente. Vou tornar isso rigoroso com uma desigualdade simples e elementar (ufa — nada de teoria pesada).
Para n\ge 2 temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4},
pois \frac{1}{2n}\le\frac{1}{4} quando n\ge 2. Portanto, para todo n\ge 2,
a_{n+1}\le\frac{3}{4}\,a_n.

Passo 5

Agora itere essa desigualdade para obter um majorante geométrico. Para n\ge 2 segue por recursão:
a_n \le a_2\left(\frac{3}{4}\right)^{\,n-2}.
Como vimos em Passo 2, a_2=1. Logo para todo n\ge 2 temos
a_n \le \left(\frac{3}{4}\right)^{\,n-2}.
Sabemos que uma potência geométrica com razão \tfrac{3}{4} menor que 1 tende a zero quando n\to\infty. Assim o majorante à direita tende a 0 quando n\to\infty. Pelo princípio do confronto (termo positivo menor ou igual a uma sequência que tende a zero), os termos a_n também tendem a 0.

Passo 6

Resumo didático e dica de prova rápida para a prova: uma maneira curta e aceitável é calcular \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2n}, notar que o limite dessa razão é \tfrac{1}{2}<1 e concluir que a sequência decai geometricamente e, portanto, converge para zero. Intuitivamente, exponencial (o 2^{n} no denominador) vence o polinomial (o n no numerador).

Resposta

A sequência converge e \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{2^{n}}=0.

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