Estude a convergência das sequências abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para estudar sua convergência. Ou seja:
- Dados: a sequência cujo
-ésimo termo é , com (assumimos ). - Pergunta: a sequência converge? Se sim, qual é o seu limite quando
?
Passo 2
Vamos olhar alguns termos iniciais para ganhar intuição (contando tudo em TeX):
Percebe-se que os termos são positivos e, a partir de certo ponto, parecem decrescer rapidamente. Isso já sugere que talvez a sequência tenda a zero.
Passo 3
Uma ferramenta simples e útil é comparar termos consecutivos. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Então a razão
tende, quando
, ao valor
Passo 4
Interpretação didática dessa razão: como
, isso indica que, para
grande, cada termo é aproximadamente metade do anterior — ou seja, a sequência decai geometricamente. Vou tornar isso rigoroso com uma desigualdade simples e elementar (ufa — nada de teoria pesada).
Para
temos
pois
quando
. Portanto, para todo
,
Passo 5
Agora itere essa desigualdade para obter um majorante geométrico. Para
segue por recursão:
Como vimos em Passo 2,
. Logo para todo
temos
Sabemos que uma potência geométrica com razão
menor que
tende a zero quando
. Assim o majorante à direita tende a
quando
. Pelo princípio do confronto (termo positivo menor ou igual a uma sequência que tende a zero), os termos
também tendem a
.
Passo 6
Resumo didático e dica de prova rápida para a prova: uma maneira curta e aceitável é calcular
, notar que o limite dessa razão é
e concluir que a sequência decai geometricamente e, portanto, converge para zero. Intuitivamente, exponencial (o
no denominador) vence o polinomial (o
no numerador).
Resposta
A sequência converge e
.