Use a definição para provar que a sequência dada tem o limite L . \left\{\frac{4}{2 n-1}\right\} \operatorname{com} L=0
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
A sequência é \left\{\frac{4}{2n-1}\right\}_{n=1}^{\infty}.
É dado que L=0.
O que devemos provar: usando a definição formal de limite de sequência (epsilôn–N), mostrar que
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n-1}=0.
Lista das informações relevantes: a sequência está definida para n\in\mathbb{N} (assumimos n\ge1); o numerador é constante 4 e o denominador é 2n-1, que é positivo para n\ge1.
Passo 2
Lembrete da definição (explicada): dizer que \lim_{n\to\infty} a_n = L significa que
para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui a_n=\dfrac{4}{2n-1} e L=0. A variável \varepsilon é qualquer número positivo pequeno que eu, na prova, escolho arbitrariamente; N é um natural que deve depender de \varepsilon e que garante que, a partir dele, todos os termos da sequência ficam a uma distância menor que \varepsilon de L.
Passo 3
Calcular a diferença absoluta que devemos tornar menor que \varepsilon:
Ou seja, se conseguirmos garantir \dfrac{4}{n}<\varepsilon então automaticamente teremos \dfrac{4}{2n-1}<\varepsilon. Trabalhar com \dfrac{4}{n} é mais simples.
Passo 5
Resolver a desigualdade mais simples:
\frac{4}{n} < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad n > \frac{4}{\varepsilon}.
Como n precisa ser inteiro, escolhemos um N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{4}{\varepsilon}. Uma escolha prática e clara é
N = \left\lceil \frac{4}{\varepsilon} \right\rceil + 1,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Essa escolha garante que N é inteiro e que N>\dfrac{4}{\varepsilon}. Agora, para todo n\ge N temos n\ge N>\dfrac{4}{\varepsilon}, então n>\dfrac{4}{\varepsilon} e daí
\frac{4}{n} < \varepsilon.
Usando a desigualdade do Passo 4, obtemos para todo n\ge N
\frac{4}{2n-1} \le \frac{4}{n} < \varepsilon.
Portanto \left|\dfrac{4}{2n-1}-0\right|<\varepsilon para todo n\ge N.
Passo 6
Conclusão final do argumento: mostramos que para um \varepsilon>0 arbitrário podemos escolher
N = \left\lceil \frac{4}{\varepsilon} \right\rceil + 1
(dependendo de \varepsilon) de modo que, para todo n\ge N, vale \left|\dfrac{4}{2n-1}-0\right|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de limite de sequência. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{2n-1}=0.
Um exemplo numérico rápido para ficar mais confortável: se \varepsilon=0,1, então \dfrac{4}{\varepsilon}=40, escolhemos N=41 e para todo n\ge41 temos \dfrac{4}{2n-1}<0,1.