O que é preciso mostrar (explicitamente): para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, valha
\left| \frac{8n}{2n+3}-4\right|<\varepsilon.
Passo 2
Explicando a definição (em linguagem simples): dizer que \lim_{n\to\infty} a_n=4 significa que, dado qualquer número positivo pequeno \varepsilon (por exemplo 0{,}1, 0{,}01, etc.), eu consigo encontrar um índice inteiro N tal que a partir de qualquer termo a_n com n\ge N a diferença entre a_n e 4 seja menor que \varepsilon. Aqui \varepsilon é a tolerância que você escolhe e N é um número que eu proponho dependendo de \varepsilon. Agora vamos calcular essa diferença e achar um N que funcione.
Passo 3
Calculemos a diferença em termos algébricos e simplifiquemos, passo a passo:
Expliquei cada subtração: expandi 4(2n+3) como 8n+12; ao subtrair de 8n sobraram -12. A última igualdade usa que o numerador é negativo, então o valor absoluto tira o sinal.
Passo 4
Agora queremos garantir que
\frac{12}{2n+3}<\varepsilon.
Resolvendo essa inequação para n (lembrando que 2n+3>0 para n\ge1, então podemos multiplicar sem trocar o sinal):
Isso nos dá uma condição explícita sobre n. Para simplificar a escolha de um N inteiro conveniente, observe uma desigualdade mais simples (mas suficiente): para todo n\ge1 temos 2n+3\ge 2n, então
\frac{12}{2n+3}\le\frac{12}{2n}=\frac{6}{n}.
Portanto uma condição suficiente para \frac{12}{2n+3}<\varepsilon é
Escolha de N e prova formal: seja \varepsilon>0 arbitrário. Escolha um inteiro
N=\left\lceil\frac{6}{\varepsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é a função teto (o menor inteiro \ge x). Então N é um inteiro positivo com N\ge\frac{6}{\varepsilon}. Para todo n\ge N temos n\ge\frac{6}{\varepsilon}, daí
Portanto para esse N e todo n\ge N vale \left|\frac{8n}{2n+3}-4\right|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição formal de \lim_{n\to\infty}\frac{8n}{2n+3}=4.
Passo 6
Exemplo numérico curto para fixar a ideia: se \varepsilon=0{,}1, então \frac{6}{\varepsilon}=60 e podemos tomar N=60. Para todo n\ge60