Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\frac{\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{n}}}{\boldsymbol{n}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência da sequência
\left\{\frac{e^{n}}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}.
Perguntas que vamos responder: a sequência converge ou diverge? Se converger, para qual limite? Se divergir, para +\infty ou para -\infty ou não tem limite definido? Informações dadas: a fórmula geral do n-ésimo termo é \displaystyle a_n=\frac{e^{n}}{n}, com n\in\mathbb{N} e e a constante de Euler (aprox. 2,71828\ldots).

Passo 2

Primeira observação útil: todos os termos são positivos, pois e^{n}>0 e n>0, logo a_n>0 para todo n. Isso já elimina a possibilidade de convergência para um limite negativo.
Agora calculemos a razão entre termos consecutivos; isso costuma ajudar a entender crescimento/decrescimento:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{e^{\,n+1}}{n+1}}{\dfrac{e^{n}}{n}} = \frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^{n}} = e\cdot\frac{n}{n+1}.
Portanto temos
\frac{a_{n+1}}{a_n}=e\cdot\frac{n}{n+1}.

Passo 3

Vamos estudar o limite da razão à medida que n\to\infty. Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1,
pois dividir numerador e denominador por n \frac{1}{1+1/n}\to1. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\left(e\cdot\frac{n}{n+1}\right) = e\cdot 1 = e.
Como e>1, a razão entre termos consecutivos tende a um número maior que 1.

Passo 4

Vou explicar um fato prático e simples que usaremos: se uma sequência a_n>0 satisfaz \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L com L>1, então a_n\to+\infty. Intuição e prova curta: escolha um número r tal que 1<r<L. Pela definição de limite, existe N tal que para todo n\ge N temos \frac{a_{n+1}}{a_n}>r. Então, para k\ge0,
a_{N+k} = a_N\cdot\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\cdots\frac{a_{N+k}}{a_{N+k-1}} > a_N\cdot r^{k}.
Como r>1, r^k\to+\infty quando k\to\infty, logo a_{N+k}\to+\infty. Portanto a_n\to+\infty. Esse argumento é simples e costuma cair bem na prova.

Passo 5

Aplicando o fato do passo anterior ao nosso caso: vimos que \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=e>1. Escolha, por exemplo, r=\dfrac{1+e}{2} (qualquer r com 1<r<e serve). Então existe N tal que para n\ge N vale \dfrac{a_{n+1}}{a_n}>r. Pela mesma multiplicação telescópica do passo anterior obtemos a_n\ge a_N r^{\,n-N} para n\ge N. Como r>1, o termo à direita cresce geometricamente e tende a +\infty. Conclusão: \displaystyle a_n=\frac{e^{n}}{n}\to+\infty.

Passo 6

Dou também uma prova alternativa, bem direta, que é ainda mais elementar: note que para todo n\ge1 temos
\frac{n}{n+1}\ge\frac{1}{2},
pois n+1\le 2n quando n\ge1. Assim, para todo n\ge1,
\frac{a_{n+1}}{a_n}=e\cdot\frac{n}{n+1}\ge e\cdot\frac{1}{2}=\frac{e}{2}.
Como \dfrac{e}{2}>1 (porque e\approx2,718>2), isso diz que a sequência cresce pelo menos à razão \dfrac{e}{2} entre termos consecutivos. Fazendo indução, para n\ge1,
a_n \ge a_1\left(\frac{e}{2}\right)^{n-1}.
O lado direito é uma progressão geométrica com razão >1, portanto tende a +\infty. Logo a_n\to+\infty. Esse argumento é bem operacional na prova porque evita limites e usa comparações simples.

Passo 7

Como terceira confirmação (mais analítica), considere a função contínua f(x)=\dfrac{e^{x}}{x} para x>0. O limite quando x\to\infty é +\infty porque aplicando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(e^{x})'}{(x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{1}=+\infty.
Como a_n=f(n), se f(x)\to+\infty então a sequência a_n também tende a +\infty. Isso apenas reforça os dois argumentos anteriores.

Passo 8

Conclusão prática (como você pode justificar na prova): a exponencial e^{n} cresce muito mais rápido que a função linear n, por isso \dfrac{e^{n}}{n} cresce sem limite. Uma maneira direta e examinável é apontar que a razão entre termos consecutivos tende a e>1, daí a sequência diverge para +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{e^{n}}{n}=+\infty

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