Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu estude a convergência da sequência
Perguntas que vamos responder: a sequência converge ou diverge? Se converger, para qual limite? Se divergir, para
ou para
ou não tem limite definido? Informações dadas: a fórmula geral do
-ésimo termo é
, com
e
a constante de Euler (aprox.
).
Passo 2
Primeira observação útil: todos os termos são positivos, pois
e
, logo
para todo
. Isso já elimina a possibilidade de convergência para um limite negativo.
Agora calculemos a razão entre termos consecutivos; isso costuma ajudar a entender crescimento/decrescimento:
Portanto temos
Passo 3
Vamos estudar o limite da razão à medida que
. Sabemos que
pois dividir numerador e denominador por
dá
. Assim
Como
, a razão entre termos consecutivos tende a um número maior que
.
Passo 4
Vou explicar um fato prático e simples que usaremos: se uma sequência
satisfaz
com
, então
. Intuição e prova curta: escolha um número
tal que
. Pela definição de limite, existe
tal que para todo
temos
. Então, para
,
Como
,
quando
, logo
. Portanto
. Esse argumento é simples e costuma cair bem na prova.
Passo 5
Aplicando o fato do passo anterior ao nosso caso: vimos que
. Escolha, por exemplo,
(qualquer
com
serve). Então existe
tal que para
vale
. Pela mesma multiplicação telescópica do passo anterior obtemos
para
. Como
, o termo à direita cresce geometricamente e tende a
. Conclusão:
.
Passo 6
Dou também uma prova alternativa, bem direta, que é ainda mais elementar: note que para todo
temos
pois
quando
. Assim, para todo
,
Como
(porque
), isso diz que a sequência cresce pelo menos à razão
entre termos consecutivos. Fazendo indução, para
,
O lado direito é uma progressão geométrica com razão
, portanto tende a
. Logo
. Esse argumento é bem operacional na prova porque evita limites e usa comparações simples.
Passo 7
Como terceira confirmação (mais analítica), considere a função contínua
para
. O limite quando
é
porque aplicando a Regra de L’Hôpital:
Como
, se
então a sequência
também tende a
. Isso apenas reforça os dois argumentos anteriores.
Passo 8
Conclusão prática (como você pode justificar na prova): a exponencial
cresce muito mais rápido que a função linear
, por isso
cresce sem limite. Uma maneira direta e examinável é apontar que a razão entre termos consecutivos tende a
, daí a sequência diverge para
.