Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência
.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
Informações dadas e observações iniciais importantes:
- A sequência tem termo geral
. - O logaritmo natural
só está definido e diferente de zero para . Portanto faz sentido considerar a sequência para . - A pergunta é: a sequência converge para algum número real? Diverge para
ou ? Ou não tem limite (oscila)?
Passo 2
Intuição rápida (para ficar tranquilo):
cresce muito devagar quando comparado com
. Alguns valores numéricos para sentir isso:
Os valores crescem e parecem ficar grandes — a tendência é ir para
. Agora vamos provar isso de maneira rigorosa.
Passo 3
Transformação para usar uma ferramenta conhecida: em vez de trabalhar diretamente com
, é conveniente estudar a função contínua
porque
para
. Se mostrarmos que
quando
, então
e (avaliando em inteiros) teremos que a sequência diverge para
.
Passo 4
Cálculo do limite da função
quando
. Aqui podemos usar o L’Hôpital (condições satisfeitas: numerador e denominador tendem a
):
Portanto
Passo 5
A partir do passo anterior concluímos que, para
grande,
é um número positivo muito pequeno. Como
para
e
, segue que
Se você quiser uma forma
-like (ou melhor, “M-style” para divergência para
): dado
, como
existe
tal que para todo
temos
. Invertendo essa desigualdade (os termos são positivos) obtemos
para todo
. Isso é exatamente a definição de divergência para
.