Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\frac{n}{\ln n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência \left\{\frac{n}{\ln n}\right\}.
Informações dadas e observações iniciais importantes:
  • A sequência tem termo geral a_n=\frac{n}{\ln n}.
  • O logaritmo natural \ln n só está definido e diferente de zero para n>1. Portanto faz sentido considerar a sequência para n\ge 2.
  • A pergunta é: a sequência converge para algum número real? Diverge para +\infty ou -\infty? Ou não tem limite (oscila)?

Passo 2

Intuição rápida (para ficar tranquilo): \ln n cresce muito devagar quando comparado com n. Alguns valores numéricos para sentir isso:
\frac{10}{\ln 10}\approx\frac{10}{2,302}\approx4,34,\qquad \frac{100}{\ln 100}\approx\frac{100}{4,605}\approx21,7,
\frac{1000}{\ln 1000}\approx\frac{1000}{6,907}\approx144,8.
Os valores crescem e parecem ficar grandes — a tendência é ir para +\infty. Agora vamos provar isso de maneira rigorosa.

Passo 3

Transformação para usar uma ferramenta conhecida: em vez de trabalhar diretamente com \frac{n}{\ln n}, é conveniente estudar a função contínua
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>1,
porque \frac{n}{\ln n}=\frac{1}{f(n)} para n>1. Se mostrarmos que f(x)\to 0 quando x\to\infty, então 1/f(x)\to+\infty e (avaliando em inteiros) teremos que a sequência diverge para +\infty.

Passo 4

Cálculo do limite da função f(x)=\frac{\ln x}{x} quando x\to\infty. Aqui podemos usar o L’Hôpital (condições satisfeitas: numerador e denominador tendem a +\infty):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)'}{(x)'} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.

Passo 5

A partir do passo anterior concluímos que, para x grande, \frac{\ln x}{x} é um número positivo muito pequeno. Como \frac{n}{\ln n}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{\ln n}{n}\right)} para n\ge 2 e \dfrac{\ln n}{n}>0, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty.
Se você quiser uma forma \varepsilon-like (ou melhor, “M-style” para divergência para +\infty): dado M>0, como \dfrac{\ln n}{n}\to 0 existe N tal que para todo n\ge N temos \dfrac{\ln n}{n}<\dfrac{1}{M}. Invertendo essa desigualdade (os termos são positivos) obtemos \dfrac{n}{\ln n}>M para todo n\ge N. Isso é exatamente a definição de divergência para +\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty

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