Estude a convergência das seqüências abaixo: \left\{\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{3}+2}\right\}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
\left\{\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{3}+2}\right\}.
Informações dadas: \; É uma sequência real com termo geral \;a_n=\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{3}+2}. \; A pergunta implícita é: a sequência converge? Se sim, para qual limite?
Passo 2
Intuição / estratégia (sem calcular ainda): quando n fica muito grande, os termos de maior grau em n dominam numerador e denominador. Aqui os termos dominantes são 3n^3 no numerador e 2n^3 no denominador, então esperamos algo próximo de \tfrac{3n^3}{2n^3}=\tfrac{3}{2}. Agora vamos transformar isso em cálculo preciso.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por n^{3} (isso é uma técnica padrão para limites de razões de polinômios):
Aqui explique o que fiz: ao dividir tudo por n^3 isolamos os termos que tendem a zero quando n\to\infty. As frações \dfrac{1}{n^{3}} e \dfrac{2}{n^{3}} tendem a 0 quando n\to\infty.
Passo 4
Tomando limite em ambos os lados, usando que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{3}}=0:
Portanto a sequência parece convergir para \dfrac{3}{2}. Agora vamos fazer uma verificação algébrica simples que mostra a diferença entre a_n e \tfrac{3}{2} tende a zero.
Passo 5
Calcule a diferença a_n-\dfrac{3}{2} de forma exata:
Assim obtemos uma forma muito simples da diferença:
\left|a_n-\frac{3}{2}\right|=\frac{1}{n^{3}+1}.
Passo 6
Prova \varepsilon-N (rigor): seja \varepsilon>0. Queremos N tal que, para todo n\ge N,
\left|a_n-\frac{3}{2}\right|<\varepsilon.
Como \left|a_n-\tfrac{3}{2}\right|=\dfrac{1}{n^{3}+1}\le \dfrac{1}{n^{3}} para n\ge1, basta garantir \dfrac{1}{n^{3}}<\varepsilon. Isso ocorre sempre que n> \varepsilon^{-1/3}. Portanto podemos escolher, por exemplo,
N=\left\lceil \varepsilon^{-1/3}\right\rceil.
Com esse N, para todo n\ge N temos \left|a_n-\tfrac{3}{2}\right|<\varepsilon. Isso mostra rigorosamente que a_n\to \tfrac{3}{2}.
Passo 7
Conclusão e comentário final: a sequência é convergente e seu limite é \dfrac{3}{2}. A manipulação exata da diferença mostrou ainda que a convergência é relativamente rápida, já que \left|a_n-\tfrac{3}{2}\right|=\dfrac{1}{n^{3}+1} tende a zero na ordem de 1/n^{3}.