Estude a convergência das sequências abaixo.
\left\{\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4}\right\}

Passo 1

Enunciado: estudar a convergência da sequência \left\{\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4}\right\}_{n=1}^{\infty}.
O que o exercício pede:
  • Determinar se a sequência converge ou diverge.
  • Se convergente, encontrar o limite \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4}.
Informações dadas:
  • A sequência é formada pelos termos \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4} para n\in\mathbb{N}.
  • Numerador e denominador são expressões polinomiais em n.
  • Para todo n, o denominador 3 n^{2}+4 é positivo, logo os termos estão bem definidos e são positivos.

Passo 2

Ideia básica (intuição): quando n fica muito grande, o termo 4 no denominador fica pequeno em comparação com 3n^{2}. Uma forma padrão de ver isso é dividir numerador e denominador por n^{2}. Faço isso passo a passo:
a_{n}=\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4}=\frac{1}{3+\dfrac{4}{n^{2}}}.
Explicação didática: ao dividir por n^{2} estamos “fatorando” o crescimento dominante (aqui n^{2}). O termo \dfrac{4}{n^{2}} é um termo que tende a zero quando n\to\infty (porque um constante dividido por n^{2} vai para zero). Então, intuitivamente, o denominador fica próximo de 3 para n grande, e a_{n} fica próximo de \dfrac{1}{3}.

Passo 3

Mostrar monotonicidade (útil para uma prova alternativa e para intuição): vou provar que a sequência é crescente.
Comparo a_{n+1} e a_{n}. Usando a expressão da Passo 2:
a_{n}=\frac{1}{3+\dfrac{4}{n^{2}}},\qquad a_{n+1}=\frac{1}{3+\dfrac{4}{(n+1)^{2}}}.
Como n\mapsto\dfrac{4}{n^{2}} é decrescente para n\ge 1, temos \dfrac{4}{(n+1)^{2}}<\dfrac{4}{n^{2}}. Somando 3 ambos os lados mantém a desigualdade, logo
3+\frac{4}{(n+1)^{2}}<3+\frac{4}{n^{2}}.
Como ambos os lados são positivos, ao tomar recíprocos a desigualdade inverte-se:
\frac{1}{3+\dfrac{4}{(n+1)^{2}}}>\frac{1}{3+\dfrac{4}{n^{2}}},
ou seja,
a_{n+1}>a_{n}.
Portanto \{a_{n}\} é crescente.
Comentário amistoso: essa é uma lógica bem comum — se você tem 1/( \text{coisa} ) e a “coisa” está diminuindo, então o recíproco aumenta. Legal, né?

Passo 4

Mostrar que a sequência é limitada (bounded):
Para todo n temos \dfrac{4}{n^{2}}>0, então 3+\dfrac{4}{n^{2}}>3. Tomando recíproco dá
a_{n}=\frac{1}{3+\dfrac{4}{n^{2}}}<\frac{1}{3}.
Além disso a_{n}>0 pois numerador e denominador são positivos. Assim
0<a_{n}<\frac{1}{3}\quad\text{para todo }n.
Logo a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por \dfrac{1}{3}.

Passo 5

Conclusão de convergência por teorema monotone-bounded:
Teorema (em palavras): toda sequência crescente e limitada superiormente converge (o limite é o supremo dos termos).
Como provamos nos Passos 3 e 4 que \{a_{n}\} é crescente e limitada acima por \dfrac{1}{3}, concluímos que \{a_{n}\} converge. Ainda falta identificar o valor do limite — a intuição do Passo 2 sugere \dfrac{1}{3}. Vou agora provar isso rigorosamente.

Passo 6

Prova rigorosa do limite \dfrac{1}{3} (prova \varepsilon- N):
Calculo a diferença entre a_{n} e \dfrac{1}{3}:
a_{n}-\frac{1}{3}=\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4}-\frac{1}{3} =\frac{3n^{2}-(3n^{2}+4)}{3(3n^{2}+4)} =\frac{-4}{3(3n^{2}+4)}.
Portanto, em módulo,
\left|a_{n}-\frac{1}{3}\right|=\frac{4}{3(3n^{2}+4)}.
Estimativa simples: para n\ge 1 temos 3n^{2}+4\ge 3n^{2}, então
\left|a_{n}-\frac{1}{3}\right|\le\frac{4}{3\cdot 3 n^{2}}=\frac{4}{9n^{2}}.
Dado um \varepsilon>0, basta escolher N tal que \dfrac{4}{9N^{2}}<\varepsilon. Por exemplo, tomar
N>\sqrt{\frac{4}{9\varepsilon}}=\frac{2}{3\sqrt{\varepsilon}}
funciona (na prática escolhe-se N=\left\lceil \dfrac{2}{3\sqrt{\varepsilon}}\right\rceil). Então, para todo n\ge N temos \left|a_{n}-\dfrac{1}{3}\right|<\varepsilon. Isso é exatamente a definição de \lim_{n\to\infty}a_{n}=\dfrac{1}{3}.
Comentário motivador: esse tipo de estimativa \le por algo do tipo C/n^{2} é clássico — 1/n^{2} vai rápido para zero, então você consegue controlar a diferença por qualquer \varepsilon dado.

Passo 7

Resumo final e interpretação: mostramos que a sequência \left\{\dfrac{n^{2}}{3 n^{2}+4}\right\} é positiva, crescente e limitada acima por \dfrac{1}{3}, portanto converge; e pelo cálculo explícito e pela prova \varepsilon- N o limite é \dfrac{1}{3}.
Força! Essa é uma daquelas sequências onde o truque de dividir pelo maior grau resolve rapidinho — guarda esse macete para a prova.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{3 n^{2}+4}=\frac{1}{3}

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