Determine se a sequência dada é limitada.
\left\{\frac{n}{2 n+1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n=\frac{n}{2n+1}
é limitada. Informações dadas: a fórmula geral da sequência para n pertencente aos naturais (vou assumir n\in\mathbb{N}; se começar em 0 o raciocínio é análogo). Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Definição (explicada devagar): uma sequência (a_n) é limitada se existe um número real M\ge 0 tal que |a_n|\le M para todo n. Ou, dito de um jeito mais concreto, todos os termos da sequência ficam dentro de algum intervalo finito [-M,M]. Nosso objetivo é encontrar (ou mostrar a existência de) um limite superior U e um limite inferior L tais que
L\le a_n\le U\quad\text{para todo }n.

Passo 3

Mostrando que os termos são não negativos (um bom passo para achar um limite inferior simples). Para n\in\mathbb{N} temos n>0 e 2n+1>0, logo o quociente é positivo:
\frac{n}{2n+1}>0.
Portanto podemos tomar L=0 como um limite inferior simples: 0\le a_n para todo n.

Passo 4

Procurando um limite superior. Vou comparar a_n com \tfrac{1}{2}. Considero a desigualdade
\frac{n}{2n+1}<\frac{1}{2}.
Para ver que isso vale para todo n, faço multiplicação em ambos os lados por 2(2n+1)>0 (atenção à sinalização: como multiplicamos por número positivo a desigualdade mantém-se):
2n < 2n+1.
Essa última desigualdade é verdadeira (pois 0<1). Logo a etapa acima mostra que
\frac{n}{2n+1}<\frac{1}{2}\quad\text{para todo }n.
Assim podemos tomar U=\tfrac{1}{2} como limite superior estrito.

Passo 5

Combinando Passo 3 e Passo 4 temos, para todo n,
0\le \frac{n}{2n+1}<\frac{1}{2}.
Isto mostra diretamente que a sequência é limitada: todos os termos estão no intervalo [0,\tfrac{1}{2}), portanto tomamos M=\tfrac{1}{2} e obtemos |a_n|\le \tfrac{1}{2} para todo n.

Passo 6

Comentário didático extra (útil para a prova): a sequência na verdade é estritamente crescente. Para ver isso calculamos a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1} =\frac{(n+1)(2n+1)-n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)}.
Desenvolvendo o numerador:
(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1,\qquad n(2n+3)=2n^2+3n,
portanto o numerador é 1. Logo
a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(2n+3)(2n+1)}>0,
o que prova que (a_n) é crescente e, como é crescente e limitada superiormente por \tfrac{1}{2}, converge para \tfrac{1}{2}. Isso não era pedido, mas reforça a ideia do limite superior.

Resposta

A sequência é limitada. \;0\le \dfrac{n}{2n+1}<\dfrac{1}{2} para todo n.

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