Determine se a sequência dada é limitada.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é limitada. Informações dadas: a fórmula geral da sequência para
pertencente aos naturais (vou assumir
; se começar em
o raciocínio é análogo). Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Definição (explicada devagar): uma sequência
é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Ou, dito de um jeito mais concreto, todos os termos da sequência ficam dentro de algum intervalo finito
. Nosso objetivo é encontrar (ou mostrar a existência de) um limite superior
e um limite inferior
tais que
Passo 3
Mostrando que os termos são não negativos (um bom passo para achar um limite inferior simples). Para
temos
e
, logo o quociente é positivo:
Portanto podemos tomar
como um limite inferior simples:
para todo
.
Passo 4
Procurando um limite superior. Vou comparar
com
. Considero a desigualdade
Para ver que isso vale para todo
, faço multiplicação em ambos os lados por
(atenção à sinalização: como multiplicamos por número positivo a desigualdade mantém-se):
Essa última desigualdade é verdadeira (pois
). Logo a etapa acima mostra que
Assim podemos tomar
como limite superior estrito.
Passo 5
Combinando Passo 3 e Passo 4 temos, para todo
,
Isto mostra diretamente que a sequência é limitada: todos os termos estão no intervalo
, portanto tomamos
e obtemos
para todo
.
Passo 6
Comentário didático extra (útil para a prova): a sequência na verdade é estritamente crescente. Para ver isso calculamos a diferença entre termos consecutivos:
Desenvolvendo o numerador:
portanto o numerador é
. Logo
o que prova que
é crescente e, como é crescente e limitada superiormente por
, converge para
. Isso não era pedido, mas reforça a ideia do limite superior.
Resposta
A sequência é limitada.
para todo
.