Estude a convergência das sequências abaixo.
\left\{\frac{n^{2}-5}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência
\left\{\frac{n^{2}-5}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}.
Informações dadas:
a_n=\frac{n^{2}-5}{n}\quad\text{para }n\in\mathbb{N}.
Perguntas que precisamos responder:
  • A sequência converge ou diverge?
  • Se converge, qual é o limite? Se diverge, para onde ela diverge (por exemplo, para +\infty ou -\infty)?

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar a expressão de a_n para ver o comportamento dominante quando n cresce. Dividindo cada termo do numerador por n, obtemos
a_n=\frac{n^{2}-5}{n}=n-\frac{5}{n}.
Essa reescrita já dá uma boa intuição: é uma diferença entre algo que cresce (o termo n) e algo que vai a zero (o termo \frac{5}{n}).

Passo 3

Vamos calcular alguns termos iniciais para enxergar o padrão e ganhar confiança:
a_1=\frac{1^2-5}{1}=-4,\quad a_2=\frac{4-5}{2}=-\tfrac{1}{2},\quad a_{10}=\frac{100-5}{10}=9{,}5.
Vê que, depois de alguns n, os termos já ficam positivos e crescem — isso sugere que a sequência tende para +\infty. Mas precisamos de uma demonstração formal.

Passo 4

Mostramos primeiro que o termo \frac{5}{n} tende a 0. Prova por definição (epsilon):
Seja \varepsilon>0. Escolha N=\left\lceil\frac{5}{\varepsilon}\right\rceil. Então, para todo n\ge N,
\left|\frac{5}{n}-0\right|=\frac{5}{n}\le\frac{5}{N}\le\varepsilon.
Logo \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{5}{n}=0.

Passo 5

Queremos mostrar que a_n\to+\infty. Uma desigualdade simples ajuda: para todo n\ge1 temos \frac{5}{n}\le5, portanto
a_n=n-\frac{5}{n}\ge n-5.
Essa desigualdade liga a_n a uma sequência muito simples, n-5, que claramente tende a +\infty.

Passo 6

Usando a definição de limite para +\infty: devemos provar que, dado qualquer M>0, existe N tal que, para todo n\ge N, a_n>M.
Seja M>0. Escolha N qualquer que satisfaça N>M+5 (por exemplo N=\lceil M+5\rceil+1). Para todo n\ge N vale
a_n\ge n-5\ge N-5>M.
Portanto, por definição, a_n\to+\infty.

Passo 7

Comentário prático (útil na prova): a reescrita a_n=n-\dfrac{5}{n} mostra que o termo dominante é n. Em geral, para sequências que são razão de polinômios em n, o comportamento é determinado pelos graus: se o numerador tem grau maior que o denominador, a sequência tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do termo dominante. Aqui o comportamento é óbvio porque o termo de maior ordem é n.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}-5}{n}=+\infty

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