Se converge, qual é o limite? Se diverge, para onde ela diverge (por exemplo, para +\infty ou -\infty)?
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar a expressão de a_n para ver o comportamento dominante quando n cresce. Dividindo cada termo do numerador por n, obtemos
a_n=\frac{n^{2}-5}{n}=n-\frac{5}{n}.
Essa reescrita já dá uma boa intuição: é uma diferença entre algo que cresce (o termo n) e algo que vai a zero (o termo \frac{5}{n}).
Passo 3
Vamos calcular alguns termos iniciais para enxergar o padrão e ganhar confiança:
Vê que, depois de alguns n, os termos já ficam positivos e crescem — isso sugere que a sequência tende para +\infty. Mas precisamos de uma demonstração formal.
Passo 4
Mostramos primeiro que o termo \frac{5}{n} tende a 0. Prova por definição (epsilon):
Seja \varepsilon>0. Escolha N=\left\lceil\frac{5}{\varepsilon}\right\rceil. Então, para todo n\ge N,
Queremos mostrar que a_n\to+\infty. Uma desigualdade simples ajuda: para todo n\ge1 temos \frac{5}{n}\le5, portanto
a_n=n-\frac{5}{n}\ge n-5.
Essa desigualdade liga a_n a uma sequência muito simples, n-5, que claramente tende a +\infty.
Passo 6
Usando a definição de limite para +\infty: devemos provar que, dado qualquer M>0, existe N tal que, para todo n\ge N, a_n>M.
Seja M>0. Escolha N qualquer que satisfaça N>M+5 (por exemplo N=\lceil M+5\rceil+1). Para todo n\ge N vale
a_n\ge n-5\ge N-5>M.
Portanto, por definição, a_n\to+\infty.
Passo 7
Comentário prático (útil na prova): a reescrita a_n=n-\dfrac{5}{n} mostra que o termo dominante é n. Em geral, para sequências que são razão de polinômios em n, o comportamento é determinado pelos graus: se o numerador tem grau maior que o denominador, a sequência tende a +\infty ou -\infty conforme o sinal do termo dominante. Aqui o comportamento é óbvio porque o termo de maior ordem é n.