Estude a convergência das sequências abaixo.
\left\{\left(\frac{-2}{5}\right)^{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência da sequência cujo termo geral é a_{n}=\left(\frac{-2}{5}\right)^{n}. Informações dadas: o termo geral é exatamente a_{n}=\left(\frac{-2}{5}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots. A pergunta é: a sequência converge? Se sim, para qual valor? Se não, justifico por que não converge.

Passo 2

O que significa “estudar a convergência” de uma sequência? Vou lembrar a definição formal de limite (num tom simples): dizemos que a sequência (a_{n}) converge para um número L quando, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que para todo n\ge N vale |a_{n}-L|<\varepsilon. Intuitivamente isso quer dizer que os termos a_{n} ficam arbitrariamente próximos de L para n suficientemente grande.
Identifico uma propriedade útil para potências: se eu tenho uma sequência geométrica r^{n}, o comportamento depende do valor absoluto de r:
  • Se |r|<1, então r^{n}\to 0 quando n\to\infty (decai geometricamente).
  • Se |r|=1, então r^{n} não converge a 0 e pode ser constante ou oscilante.
  • Se |r|>1, então |r^{n}|\to\infty (diverge em módulo).
    Essa é a ideia básica que vamos aplicar aqui.

Passo 3

No nosso caso o “razão” é r=\frac{-2}{5}. Calculo o absoluto:
\left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5}.
Como \frac{2}{5}=0,4 e 0,4<1, temos |r|<1. Pela propriedade citada em Vou dar uma demonstração com o argumento do valor absoluto (e uma prova \varepsilon- N simples) para ficar rigoroso: note que
|a_{n}-0|=\left|\left(\frac{-2}{5}\right)^{n}\right|=\left(\frac{2}{5}\right)^{n}.
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo n\ge N,
\left(\frac{2}{5}\right)^{n}<\varepsilon.
Como 0<\frac{2}{5}<1, a sequência \left(\frac{2}{5}\right)^{n} é decrescente e tende a 0. Para obter um N explícito podemos usar logaritmos: tomando logaritmo natural dos dois lados (lembrando que \ln\left(\frac{2}{5}\right)<0), obtemos
n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\!\left(\frac{2}{5}\right)}.
Assim, basta escolher
N=\left\lceil \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln\!\left(\frac{2}{5}\right)} \right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é o teto (menor inteiro \ge ao número). Com esse N, para todo n\ge N vale \left(\frac{2}{5}\right)^{n}<\varepsilon. Isso prova formalmente que a_{n}\to 0.

Passo 4

Comento o comportamento da sequência além do limite:
  • Oscilação de sinal: como a base é negativa ( \frac{-2}{5}), os termos alternam de sinal: a_{1}=-\frac{2}{5},\\ a_{2}=+\left(\frac{2}{5}\right)^{2},\\ a_{3}=-\left(\frac{2}{5}\right)^{3}, etc. Então a sequência não é monótona (não é só crescente nem só decrescente).
  • Decaimento do módulo: os valores absolutos |a_{n}|=\left(\frac{2}{5}\right)^{n} são estritamente decrescentes e tendem a zero. Ou seja, a sequência é “alternada” mas com amplitudes que vão decrescendo geometricamente até zero.
  • Limite final: os sinais alternam, mas o tamanho dos termos vai para zero, logo todos os termos se aproximam de 0.
Faço um pequeno exemplo numérico para intuir: a_{1}=-0,4,\\ a_{2}=0,16,\\ a_{3}=-0,064,\\ a_{4}=0,0256,\dots Dá para ver que os termos mudam de sinal, mas as magnitudes ficam menores e tendem a zero.

Passo 5

Conclusão: a sequência converge e seu limite é zero. Forneci a demonstração baseada na comparação do valor absoluto com \left(\tfrac{2}{5}\right)^{n} e um argumento \varepsilon- N explícito.

Resposta

Converge para \,0

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