Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\frac{(-1)^{n} 2^{n-1}}{3^{n}-5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n}2^{\,n-1}}{3^{n}-5}.
As informações relevantes são: a expressão explícita de a_{n} para todo n natural. O que precisamos decidir: a sequência converge ou diverge e, se converge, qual é o seu limite.

Passo 2

Vamos reescrever a_{n} de modo a separar fatores que têm comportamento conhecido quando n\to\infty. Note que
2^{\,n-1}=\frac{2^{n}}{2},
portanto
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{1}{2}\,\frac{2^{n}}{3^{n}-5}.

Passo 3

Agora fatoramos 3^{n} no denominador para transformar a fração numa potência da razão 2/3:
\frac{2^{n}}{3^{n}-5}=\frac{2^{n}}{3^{n}\left(1-\dfrac{5}{3^{n}}\right)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\frac{1}{1-\dfrac{5}{3^{n}}}.
Logo
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\frac{1}{1-\dfrac{5}{3^{n}}}.

Passo 4

Vamos analisar os fatores no produto acima quando n\to\infty.
  • O fator \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} tende a 0 porque \left|\dfrac{2}{3}\right|<1. Em geral, se |r|<1 então r^{n}\to 0.
  • O termo \dfrac{5}{3^{n}} tende a 0, pois 3^{n}\to\infty. Portanto
\frac{1}{1-\dfrac{5}{3^{n}}}\to\frac{1}{1-0}=1.
  • O fator (-1)^{n} só alterna sinal entre +1 e -1, não tem limite isoladamente, mas quando é multiplicado por algo que tende a 0 o produto tende a 0.
Pelos teoremas de limites (produto de limites quando existem), o produto dos fatores tende a
(-1)^{n}\cdot\frac{1}{2}\cdot 0 \cdot 1 = 0.

Passo 5

Para ficar mais explícito e sem ambiguidades: podemos escrever o valor absoluto
|a_{n}|=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\frac{1}{\left|1-\dfrac{5}{3^{n}}\right|}.
Como o último fator tende a 1, existe uma constante C>0 e um N tal que para todo n\ge N temos |a_{n}|\le C\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Como \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\to 0, segue por comparação que |a_{n}|\to 0. Logo a_{n}\to 0.

Passo 6

Observações finais de interpretação (úteis para prova): a sequência não é monotônica nos sinais por causa de (-1)^{n}, mas os módulos |a_{n}| ficam eventualmente decrescentes e tendem a zero. O comportamento dominante é a razão \dfrac{2}{3} nas potências: qualquer potência \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} com |2/3|<1 vai a zero muito rápido, e o pequeno ajuste pelo termo -5 no denominador desaparece no limite.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}2^{\,n-1}}{3^{n}-5}=0.

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