Estude a convergência das seqüências abaixo: \left\{\frac{(-1)^{n} 2^{n-1}}{3^{n}-5}\right\}
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude a convergência da sequência
a_{n}=\frac{(-1)^{n}2^{\,n-1}}{3^{n}-5}.
As informações relevantes são: a expressão explícita de a_{n} para todo n natural. O que precisamos decidir: a sequência converge ou diverge e, se converge, qual é o seu limite.
Passo 2
Vamos reescrever a_{n} de modo a separar fatores que têm comportamento conhecido quando n\to\infty. Note que
Como o último fator tende a 1, existe uma constante C>0 e um N tal que para todo n\ge N temos |a_{n}|\le C\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Como \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\to 0, segue por comparação que |a_{n}|\to 0. Logo a_{n}\to 0.
Passo 6
Observações finais de interpretação (úteis para prova): a sequência não é monotônica nos sinais por causa de (-1)^{n}, mas os módulos |a_{n}| ficam eventualmente decrescentes e tendem a zero. O comportamento dominante é a razão \dfrac{2}{3} nas potências: qualquer potência \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} com |2/3|<1 vai a zero muito rápido, e o pequeno ajuste pelo termo -5 no denominador desaparece no limite.
Resposta
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}2^{\,n-1}}{3^{n}-5}=0.