Informações dadas explicitamente ou que podemos usar imediatamente:
A sequência é dada pelo termo geral \displaystyle a_n=\frac{n}{\,n+\operatorname{sen} n\,}.
O seno de um número real é limitado: para todo n vale |\operatorname{sen} n|\le 1.
Não se pede nada além de determinar se a sequência converge e, se convergir, para qual valor.
Passo 2
Primeira transformação algébrica útil: dividir numerador e denominador por n (para n\ge1 isto é permitido). Assim escrevo
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, pelo Teorema do Sanduíche (Teorema da Convergência por Comparação) segue que
Explicando o Teorema do Sanduíche de forma curta: se uma sequência fica sempre entre duas sequências que têm o mesmo limite L, então a sequência do meio também converge para L.
Passo 4
Agora volto à expressão de a_n. Sabendo que \dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\to 0, escrevo
Aqui uso a propriedade de limites: se b_n\to 0 e 1+b_n não se anula para n suficientemente grandes, então \dfrac{1}{1+b_n}\to \dfrac{1}{1+0}=1. No nosso caso, para n\ge2 temos |\dfrac{\operatorname{sen} n}{n}|\le \tfrac{1}{2}, logo 1+\dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\neq 0 e é próximo de 1. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{1+0}=1.
Passo 5
Se você quiser uma desigualdade direta que mostra a convergência sem apelar a continuidade de funções: calcule a diferença para n\ge2
E como \dfrac{1}{n-1}\to 0, então \left|a_n-1\right|\to0, isto é, a_n\to1. Esta desigualdade também dá uma estimativa explícita de quão rápido a_n se aproxima de 1.