Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{\frac{n}{n+\operatorname{sen} n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede que eu estude a convergência da sequência
\left\{\frac{n}{\,n+\operatorname{sen} n\,}\right\}_{n\in\mathbb{N}}.
Informações dadas explicitamente ou que podemos usar imediatamente:
  • A sequência é dada pelo termo geral \displaystyle a_n=\frac{n}{\,n+\operatorname{sen} n\,}.
  • O seno de um número real é limitado: para todo n vale |\operatorname{sen} n|\le 1.
    Não se pede nada além de determinar se a sequência converge e, se convergir, para qual valor.

Passo 2

Primeira transformação algébrica útil: dividir numerador e denominador por n (para n\ge1 isto é permitido). Assim escrevo
a_n=\frac{n}{\,n+\operatorname{sen} n\,}=\frac{1}{\,1+\dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\,}.
Esta escrita é boa porque reduz o problema a estudar o comportamento da fração \dfrac{\operatorname{sen} n}{n} quando n\to\infty.

Passo 3

Mostro que \dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\to 0 quando n\to\infty. Uso o fato que |\operatorname{sen} n|\le 1 para todo n. Então, para n\ge1,
-\frac{1}{n}\le \frac{\operatorname{sen} n}{n}\le \frac{1}{n}.
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0, pelo Teorema do Sanduíche (Teorema da Convergência por Comparação) segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen} n}{n}=0.
Explicando o Teorema do Sanduíche de forma curta: se uma sequência fica sempre entre duas sequências que têm o mesmo limite L, então a sequência do meio também converge para L.

Passo 4

Agora volto à expressão de a_n. Sabendo que \dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\to 0, escrevo
a_n=\frac{1}{\,1+\dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\,}.
Aqui uso a propriedade de limites: se b_n\to 0 e 1+b_n não se anula para n suficientemente grandes, então \dfrac{1}{1+b_n}\to \dfrac{1}{1+0}=1. No nosso caso, para n\ge2 temos |\dfrac{\operatorname{sen} n}{n}|\le \tfrac{1}{2}, logo 1+\dfrac{\operatorname{sen} n}{n}\neq 0 e é próximo de 1. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{1}{1+0}=1.

Passo 5

Se você quiser uma desigualdade direta que mostra a convergência sem apelar a continuidade de funções: calcule a diferença para n\ge2
\left|a_n-1\right|=\left|\frac{n}{n+\operatorname{sen} n}-1\right| =\left|\frac{n-(n+\operatorname{sen} n)}{n+\operatorname{sen} n}\right| =\left|\frac{-\operatorname{sen} n}{n+\operatorname{sen} n}\right| =\frac{|\operatorname{sen} n|}{|n+\operatorname{sen} n|}.
Como |\operatorname{sen} n|\le 1 e |n+\operatorname{sen} n|\ge n-|\operatorname{sen} n|\ge n-1, segue
\left|a_n-1\right|\le \frac{1}{\,n-1\,}\quad\text{para }n\ge2.
E como \dfrac{1}{n-1}\to 0, então \left|a_n-1\right|\to0, isto é, a_n\to1. Esta desigualdade também dá uma estimativa explícita de quão rápido a_n se aproxima de 1.

Resposta

Converge para \;1\;.

Exercícios relacionados