Estude a convergência das seqüências abaixo:
\left\{2^{-n} \cdot \cos n\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência \{2^{-n}\cdot\cos n\}, ou seja: determinar se existe um limite \lim_{n\to\infty}2^{-n}\cos n e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Informações dadas: a sequência é dada termo a termo por a_n=2^{-n}\cos n para n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Vou recordar o que significa dizer que uma sequência \{a_n\} converge para um número L. Por definição, \{a_n\} converge para L se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale
|a_n-L|<\varepsilon.
Aqui queremos verificar se existe L tal que essa propriedade seja satisfeita por a_n=2^{-n}\cos n.

Passo 3

Uma observação básica sobre a função cosseno: para todo número real x vale
|\cos x|\le 1.
Isso é verdadeiro porque o cosseno oscila entre -1 e 1. Aplicando isso aos inteiros n (que são casos particulares de reais) temos
|\cos n|\le 1\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Usando a desigualdade do passo anterior, podemos estimar o módulo de a_n:
|2^{-n}\cos n|=2^{-n}|\cos n|\le 2^{-n}\cdot 1=2^{-n}.
Portanto, para todo n vale
-2^{-n}\le 2^{-n}\cos n\le 2^{-n},
ou, em termos de módulos,
|2^{-n}\cos n|\le 2^{-n}.

Passo 5

Agora analisamos o comportamento da sequência 2^{-n}. Trata-se de uma progressão geométrica com razão 1/2, isto é, 2^{-n}=(1/2)^n. É um fato elementar (e fácil de justificar) que, se 0<r<1, então r^n\to 0 quando n\to\infty. Aqui r=1/2, logo
\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0.
Um modo direto de ver isso com \varepsilon: dado \varepsilon>0 existe N suficientemente grande tal que 2^{-N}<\varepsilon (por exemplo, escolher N>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln(1/2)}); então para todo n\ge N temos 2^{-n}\le 2^{-N}<\varepsilon.

Passo 6

Aplicamos o princípio do aperto (squeeze theorem). Das desigualdades do passo 4 temos, para todo n,
-2^{-n}\le 2^{-n}\cos n\le 2^{-n}.
Como \lim_{n\to\infty}-2^{-n}=0 e \lim_{n\to\infty}2^{-n}=0 (pelo passo 5), a sequência que está “apertada” entre elas também tem limite 0. Logo
\lim_{n\to\infty}2^{-n}\cos n=0.

Passo 7

Para fechar com uma prova em estilo \varepsilon (mais formal, mas curta): seja \varepsilon>0. Pelo passo 5 existe N tal que, para todo n\ge N, 2^{-n}<\varepsilon. Então para esses n
|2^{-n}\cos n-0|=|2^{-n}\cos n|\le 2^{-n}<\varepsilon.
Isso mostra diretamente que 2^{-n}\cos n\to 0.

Passo 8

Comentário final e intuição: o fator \cos n oscila entre -1 e 1 (não tem limite), mas é limitado; o fator 2^{-n} tende a zero muito rapidamente (decresce geometricamente). O produto de algo limitado por uma sequência que tende a zero tende a zero. Observação prática: o mesmo raciocínio vale se trocarmos 2^{-n} por a^n com |a|<1: então a^n\cos n\to 0.

Resposta

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