Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
, ou seja: determinar se existe um limite
e, em caso afirmativo, qual é esse limite. Informações dadas: a sequência é dada termo a termo por
para
.
Passo 2
Vou recordar o que significa dizer que uma sequência
converge para um número
. Por definição,
converge para
se, para todo
, existe
tal que, para todo
, vale
Aqui queremos verificar se existe
tal que essa propriedade seja satisfeita por
.
Passo 3
Uma observação básica sobre a função cosseno: para todo número real
vale
Isso é verdadeiro porque o cosseno oscila entre
e
. Aplicando isso aos inteiros
(que são casos particulares de reais) temos
Passo 4
Usando a desigualdade do passo anterior, podemos estimar o módulo de
:
Portanto, para todo
vale
ou, em termos de módulos,
Passo 5
Agora analisamos o comportamento da sequência
. Trata-se de uma progressão geométrica com razão
, isto é,
. É um fato elementar (e fácil de justificar) que, se
, então
quando
. Aqui
, logo
Um modo direto de ver isso com
: dado
existe
suficientemente grande tal que
(por exemplo, escolher
); então para todo
temos
.
Passo 6
Aplicamos o princípio do aperto (squeeze theorem). Das desigualdades do passo 4 temos, para todo
,
Como
e
(pelo passo 5), a sequência que está “apertada” entre elas também tem limite
. Logo
Passo 7
Para fechar com uma prova em estilo
(mais formal, mas curta): seja
. Pelo passo 5 existe
tal que, para todo
,
. Então para esses
Isso mostra diretamente que
.
Passo 8
Comentário final e intuição: o fator
oscila entre
e
(não tem limite), mas é limitado; o fator
tende a zero muito rapidamente (decresce geometricamente). O produto de algo limitado por uma sequência que tende a zero tende a zero. Observação prática: o mesmo raciocínio vale se trocarmos
por
com
: então
.