Estude a convergência das seqüências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
O que se pergunta é se a sequência tem limite quando
, e, em caso afirmativo, qual é esse limite. As informações que temos são apenas os termos da própria sequência (o produto dos primeiros
pares de números ímpares sobre o produto dos primeiros
números pares).
Passo 2
Vamos reescrever o termo geral de forma mais conveniente usando fatoriais. Primeiro observe que o produto dos primeiros
números pares é
Explicação: cada fator par tem a forma
com
; multiplicando todos obtemos
.
Agora o produto dos primeiros
números ímpares pode ser obtido a partir de
. De fato,
Isolando o produto dos ímpares, temos
Passo 3
Substituindo as duas expressões no termo da sequência, obtemos
Podemos reconhecer aqui o coeficiente binomial central:
portanto
Passo 4
Mostremos algumas propriedades úteis: cada
e a sequência é decrescente. De fato,
pois
. Logo
é positiva e decrescente, portanto converge para algum limite
. Ainda precisamos identificar
.
Passo 5
Para encontrar o limite usamos a aproximação assintótica de Stirling para fatoriais. A fórmula de Stirling diz, intuitivamente,
ou seja, a razão entre
e o lado direito tende a
. Vou aplicar essa aproximação aos fatoriais aparecendo em
.
Usando Stirling em
e em
, temos (levantando todos os termos relevantes)
Substituindo em
obtemos, para
grande,
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro as potências com
cancelam. Depois:
portanto a parte de potências fica
. Restam os fatores de raiz e constantes:
Passo 6
Da estimativa assintótica
segue que
quando
. Como a sequência é positiva e decrescente, isso confirma que o limite é
.
Resposta
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