Calcule a integral
I=integral1^2 3x raizx^2-1 d x
Resposta: (1) I=-pi, (2) I=2 pi, (3) I=pi, (4) I=-2 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=integral1^23xraizx^2-1,dx
ocupando técnicas de substituição trigonométrica para funções com raiz raizx^2-1.

Passo 2

Para usar a substituição trigonométrica, definimos x=sec t. Então temos:
raizx^2-1=raizsec^2t-1=tan t,
$$dx=\sec t\tan t,dt.
$$
Os limites também mudam: quando dx=sec ttan t,dt , x=1 implica sec t=1; quando t=0, x=2 implica .

Passo 3

Substituindo tudo na integral, obtemos:
I=integralt=0^t=pi/33(sec t)(tan t),l(sec ttan t,dtr) =integral0^pi/33,dt

Passo 4

Agora é só integrar a constante 3:
I=3l[tr]0^pi/3=3l(pi3-0r)=pi

Resposta

pi

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