(valor: 2,00 ) Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier da função abaixo.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { se }-1<x<-\frac{1}{2} \\\\ 1 & \text { se }-\frac{1}{2}<x<\frac{1}{2} \\\\ 0 & \text { se } \frac{1}{2}<x<1 \end{array} \quad f(x+2)=f(x)\right.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função é periódica de período 2\): \(f(x+2)=f(x)\).
- Em um período central \((-1,1)\) a função é dada por:
\[f(x)=\begin{cases} 0, & -1<x<-\tfrac{1}{2},\\[4pt] 1, & -\tfrac{1}{2}<x<\tfrac{1}{2},\\[4pt] 0, & \tfrac{1}{2}<x<1, \end{cases}(os valores em \pm\tfrac{1}{2}\] e \(\pm1 não afetam a série de Fourier).
O enunciado pede duas coisas:
Esboçar o gráfico (mostrar como é o período e a forma).
Encontrar a série de Fourier de f(x).]
Passo 2
Escolha do método e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo básico).
Como o período é 2, usamos a formulação usual de série de Fourier em [-L,L] com L=1. A expansão geral éf(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr),onde os coeficientes são dados pora_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx, \qquad a_n=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx, \qquad b_n=\int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx.
Vou explicar o que cada fórmula significa: a_0 é a “média” da função no intervalo [-1,1]; a_n mede quanto da componente \cos(n\pi x) existe em f; b_n mede quanto da componente \sin(n\pi x) existe.
Observação prática: se a função for par (f(-x)=f(x)), então todos os b_n serão zero e só aparecem cossenos; se for ímpar (f(-x)=-f(x)), só aparecem senos.
Passo 3
Verificar a paridade de f (isso simplifica muito o trabalho).
Para todo x no intervalo mostrado, f(-x)=f(x) porque a região onde f=1 é (-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), simétrica em relação à origem, e as outras partes são zero de modo simétrico.
Conclusão: f é uma função par, portantob_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
Passo 4
Calcular a_0 (média da função no período).
Pela definição,a_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.
Como f(x)=1 apenas no subintervalo \bigl(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\bigr) de comprimento 1, a integral valea_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-\tfrac{1}{2}}^{\tfrac{1}{2}} 1\,dx = 1.
O termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.
Passo 5
Calcular a_n para n\ge1.
Começamos pela definição:a_n=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Usando que f é par e que \cos(n\pi x) também é par, podemos escrevera_n=2\int_{0}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx.
Mas f(x)=1 apenas em 0<x<\tfrac{1}{2} (no restante de (0,1) é zero), entãoa_n=2\int_{0}^{\tfrac{1}{2}} \cos(n\pi x)\,dx.
Calcule a integral passo a passo: a primitiva de \cos(n\pi x) é \dfrac{1}{n\pi}\sin(n\pi x). Logoa_n=2\left[\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\right]_{0}^{\tfrac{1}{2}} =\frac{2}{n\pi}\bigl(\sin\bigl(n\pi\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)-\sin(0)\bigr) =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Passo 6
Simplificar [a_n) usando a identidade para \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
A função \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr) tem o padrão periódico em n (módulo 4):\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)= \begin{cases} 0, & n \text{ par},\\[4pt] (-1)^k, & n=2k+1 \\ (\text{ímpar}). \end{cases}í
Portanto, para n\] par temos \(a_n=0. Para n ímpar, escrevendo n=2k+1 com k=0,1,2,\dots,a_{2k+1}=\frac{2}{(2k+1)\pi}(-1)^k.
Resumindo num único enunciado:a_n=\begin{cases} 0, & n \text{ par},\\[4pt] \dfrac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}, & n=2k+1. \end{cases}]
Passo 7
Montar a série de Fourier final e comentar convergência pontual.
Como b_n=0 para todo n, a série fica só com cossenos:f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(n\pi x).
Substituindo apenas os termos ímpares não nulos (escrevendo em índice k para clareza),f(x)\sim \frac{1}{2}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2(-1)^k}{(2k+1)\pi}\cos\bigl((2k+1)\pi x\bigr).
Comentário prático: em pontos de descontinuidade da função (por exemplo x=\pm\tfrac{1}{2} etc.) a série converge para a média dos limites laterais; em pontos de continuidade (como x=0) converge para f(x). Ex.: em x=0 substituindo \cos(0)=1 a série dá 1 (consistência com f(0)=1).
Passo 8
Esboço do gráfico (instruções para desenhar à mão e descrição).
Descrição do gráfico num período [-1,1]:
Para -1<x<-\tfrac{1}{2}: f(x)=0 (linha em y=0).
Para -\tfrac{1}{2}<x<\tfrac{1}{2}: f(x)=1 (retângulo de altura 1).
Para \tfrac{1}{2}<x<1: f(x)=0.
Como a função é periódica de período 2, repetir esse padrão para todo x: blocos de largura 1 com valor 1 centrados nos inteiros pares, separados por intervalos de valor 0. O gráfico é uma série de “pulsos retangulares” de largura 1 e altura 1, simétricos em torno da origem.
Dica para esboço rápido: desenhe um retângulo unitário centrado em 0 (de -\tfrac{1}{2} a \tfrac{1}{2}), depois copie esse retângulo para a direita e para a esquerda deslocando por 2 unidades (periodicidade).
Resposta
Esboço do gráfico: função periódica de período 2 formada por pulsos retangulares: em cada intervalo (-1+2m,-\tfrac{1}{2}+2m) e (\tfrac{1}{2}+2m,1+2m) vale 0, e em (-\tfrac{1}{2}+2m,\tfrac{1}{2}+2m) vale 1 (para todo m\in\mathbb{Z}).