Estude a convergência das séries abaixo, justificando seus argumentos.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2.5 .8 \ldots(3 n-1)}{2^{n} n!}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{2^{n}\,n!}.
O conteúdo é séries numéricas e vamos aplicar o teste da razão, que é eficaz quando o termo geral envolve produtos e fatoriais.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(3k-1)}{2^{n}\,n!}.
Pelo teste da razão, devemos analisar \displaystyle L = \lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr|.

Passo 3

Calculamos o quociente
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-1)}{2^{\,n+1}(n+1)!}} {\frac{\prod_{k=1}^{n}(3k-1)}{2^{n}n!}} = \frac{3(n+1)-1}{2\,(n+1)} = \frac{3n+2}{2(n+1)}.

Passo 4

Determinamos o limite do quociente quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{2(n+1)} = \frac{3}{2} > 1.
Como L>1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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