Estude a convergência das séries abaixo, justificando seus argumentos.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}-5}

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}\,n}{n^{2}-5}.
O conteúdo envolve testes de convergência: convergência absoluta (usando comparação ou limite) e convergência condicional (usando o critério de Leibniz para séries alternadas).

Passo 2

Primeiro vamos ver se há convergência absoluta. Para isso consideramos
\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl|\frac{(-1)^{n}\,n}{n^{2}-5}\biggr| =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^{2}-5}.
Para n grande, \frac{n}{n^{2}-5} tem o mesmo comportamento de \frac1n. De fato, aplicando o Teste da Comparação Limite com \frac1n:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^{2}-5}}{\frac1n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}-5}=1\quad(\text{finito e \(>0\)}).
Como \sum1/n diverge, segue que
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n^{2}-5}
também diverge. Logo a série original não converge absolutamente.

Passo 3

Agora vamos ao critério de Leibniz para séries alternadas. Definimos
b_{n}=\frac{n}{n^{2}-5},
então a série original é \sum(-1)^{n}b_{n}. Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos verificar duas coisas para n suficientemente grande:
  1. b_{n}>0.
  2. (b_{n}) é decrescente e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0.
(i) Claramente b_{n}>0 para n\ge3.
(ii) Calculamos
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}-5} =0.
Para mostrar que b_{n} é decrescente, note a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-5},\quad x>\sqrt5.
Temos
f'(x) =\frac{(x^{2}-5)-2x^{2}}{(x^{2}-5)^{2}} =-\frac{x^{2}+5}{(x^{2}-5)^{2}}<0
para x>\sqrt5, o que implica que (b_{n})_{n\ge3} é decrescente.
Pela regra de Leibniz, a série \sum(-1)^{n}b_{n} converge.

Passo 4

Concluímos que a série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}n}{n^{2}-5} não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz. Portanto, trata-se de convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz e não converge absolutamente).

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