Estude a convergência das séries abaixo, justificando seus argumentos. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n^{2}-5}
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}\,n}{n^{2}-5}.
O conteúdo envolve testes de convergência: convergência absoluta (usando comparação ou limite) e convergência condicional (usando o critério de Leibniz para séries alternadas).
Passo 2
Primeiro vamos ver se há convergência absoluta. Para isso consideramos
para x>\sqrt5, o que implica que (b_{n})_{n\ge3} é decrescente.
Pela regra de Leibniz, a série \sum(-1)^{n}b_{n} converge.
Passo 4
Concluímos que a série \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}n}{n^{2}-5}não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz. Portanto, trata-se de convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz e não converge absolutamente).