Estude a convergência das séries abaixo, justificando seus argumentos.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{e^n}. Vamos verificar primeiro a convergência absoluta usando o teste da razão e depois, por curiosidade, confirmar a convergência alternada via teste de Leibniz.

Passo 2

Analisando a série de termos positivos \sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n} pelo teste da razão, calculemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{e} =\frac{1}{e}<1.
Como L<1, a série \sum n/e^n converge absolutamente. Logo, a série original converge absolutamente.

Passo 3

Opcionalmente, pelo teste de Leibniz para séries alternadas, note que a_n=\frac{n}{e^n} satisfaz \lim_{n\to\infty}a_n=0 e que, para todo n\ge1,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac1e<1
pois e>1+\frac1n. Isso garante que (a_n) é decrescente e, portanto, a série alternada também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{e^n} converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Exercícios relacionados