Verifique que as séries satisfazem as condições do critério de Leibniz e conclua suas convergências.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a série
satisfaz as condições do critério de Leibniz (série alternada de termos decrescentes em módulo que tendem a zero) e, com isso, concluir sobre sua convergência.
Passo 2
Definimos
Claramente, para todo
, temos
.
Passo 3
Mostramos que
é decrescente. Considere a função contínua em
Calculando a derivada,
Logo,
é decrescente em
e, em particular,
Passo 4
Verificamos o limite
Resposta
Como
,
e
, a série alternada obedece ao critério de Leibniz. Portanto,
converge.