Verifique que as séries satisfazem as condições do critério de Leibniz e conclua suas convergências.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{2 n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{2n^{2}-1}
satisfaz as condições do critério de Leibniz (série alternada de termos decrescentes em módulo que tendem a zero) e, com isso, concluir sobre sua convergência.

Passo 2

Definimos
b_{n} = \frac{n}{2n^{2}-1}.
Claramente, para todo n\ge1, temos b_{n}>0.

Passo 3

Mostramos que (b_{n}) é decrescente. Considere a função contínua em [1,\infty)
f(x)=\frac{x}{2x^{2}-1}.
Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{(2x^{2}-1)\cdot1 - x\cdot(4x)}{(2x^{2}-1)^{2}} =\frac{2x^{2}-1-4x^{2}}{(2x^{2}-1)^{2}} =\frac{-2x^{2}-1}{(2x^{2}-1)^{2}}<0 \quad\text{para }x\ge1.
Logo, f é decrescente em [1,\infty) e, em particular,
b_{n+1}=f(n+1)<f(n)=b_{n} \quad\forall n\ge1.

Passo 4

Verificamos o limite
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n^{2}-1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n-\tfrac1n} =0.

Resposta

Como b_{n}>0, b_{n+1}<b_{n} e \lim_{n\to\infty}b_{n}=0, a série alternada obedece ao critério de Leibniz. Portanto,
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n}{2n^{2}-1}
converge.

Exercícios relacionados