Estude a convergência das séries seguintes:
sum(-1)^n n^2+2n^3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente estudar a convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n n^2 + 2n^3
Estamos lidando com séries numéricas, que é um assunto da matemática que estuda a soma de termos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para facilitar nossa análise:
n^2 + 2n^3 = n^2n^3 + 2n^3 = 1n + 2n^3
Então, nossa série fica:
sumn=1^infty (-1)^n ( 1n + 2n^3 )

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência dessa série. Primeiro, percebemos que ela é uma série alternada por causa do termo (-1)^n. Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série:
sumn=1^infty (-1)^n an
converge se:
  1. Os termos an são positivos.
  2. an é uma sequência decrescente.
  3. limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos verificar esses três pontos para nossa série. No nosso caso, an = 1n + 2n^3.
  1. Positividade: Como n é positivo, ambos 1n e 2n^3 são positivos. Então, an > 0.
  2. Decrescente: Vamos ver se an está diminuindo à medida que n aumenta. Calculando an+1 = 1n+1 + 2(n+1)^3, percebemos que an+1 < an para todo n positivo.
  3. Limite para zero:
limn to infty an = limn to infty ( 1n + 2n^3 ) = 0 + 0 = 0
Como os três critérios são atendidos, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Mas espera aí, vamos além! Só porque a série alternada converge não significa que ela converge absolutamente. Para verificar isso, vamos analisar a Convergência Absoluta.
Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n ( 1n + 2n^3 ) | = sumn=1^infty ( 1n + 2n^3 )

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa série converge. Podemos separar a soma:
sumn=1^infty 1n + sumn=1^infty 2n^3
Sabemos que:
  • sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que não converge.
  • sumn=1^infty 2n^3 é uma série p com p = 3 > 1, que converge.
Mas como uma das séries diverge, a série dos valores absolutos também diverge. Então, a nossa série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n n^2 + 2n^3 converge condicionalmente.

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