Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente estudar a convergência da série:
Estamos lidando com séries numéricas, que é um assunto da matemática que estuda a soma de termos infinitos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para facilitar nossa análise:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência dessa série. Primeiro, percebemos que ela é uma série alternada por causa do termo . Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série:
converge se:
Os termos são positivos.
é uma sequência decrescente.
.
Passo 4
Vamos verificar esses três pontos para nossa série. No nosso caso, .
Positividade: Como é positivo, ambos e são positivos. Então, .
Decrescente: Vamos ver se está diminuindo à medida que aumenta. Calculando , percebemos que para todo positivo.
Limite para zero:
Como os três critérios são atendidos, segundo o Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Mas espera aí, vamos além! Só porque a série alternada converge não significa que ela converge absolutamente. Para verificar isso, vamos analisar a Convergência Absoluta.
Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa série converge. Podemos separar a soma:
sumn=1^infty 1n + sumn=1^infty 2n^3
Sabemos que:
sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que não converge.
sumn=1^infty 2n^3 é uma série p com p = 3 > 1, que converge.
Mas como uma das séries diverge, a série dos valores absolutos também diverge. Então, a nossa série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n n^2 + 2n^3converge condicionalmente.