Supondo que o raio de um cilindro circular reto cresce a uma taxa de
e altura decresce a uma taxa de
, qual é a taxa de variação do volume do cilindro no instante em que o raio é 13 cm e a altura é 18 cm ?
Passo 1
O enunciado fala de um cilindro circular reto cujo raio cresce a uma taxa de 3 cm/min e a altura decresce a 2 cm/min; estamos no tópico de taxas relacionadas e vamos precisar da fórmula do volume do cilindro e da derivação implícita em relação ao tempo.
Passo 2
A fórmula do volume de um cilindro é dada por
onde
é o raio e
é a altura.
Passo 3
Para achar a taxa de variação do volume
, aplicamos derivação em relação ao tempo em ambos os lados da fórmula:
Usando a regra do produto e que
é constante, temos:
Passo 4
Sabemos que no instante de interesse
cm,
cm,
cm/min e
cm/min (negativo porque a altura decresce). Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Fazendo as contas:
-
-
Logo,
e o sinal é positivo, mostrando que o volume final ainda cresce.