Supondo que o raio de um cilindro circular reto cresce a uma taxa de 3 cm / min e altura decresce a uma taxa de 2 cm / min, qual é a taxa de variação do volume do cilindro no instante em que o raio é 13 cm e a altura é 18 cm ?

Passo 1

O enunciado fala de um cilindro circular reto cujo raio cresce a uma taxa de 3 cm/min e a altura decresce a 2 cm/min; estamos no tópico de taxas relacionadas e vamos precisar da fórmula do volume do cilindro e da derivação implícita em relação ao tempo.

Passo 2

A fórmula do volume de um cilindro é dada por
V = pi r^2 h
onde r é o raio e h é a altura.

Passo 3

Para achar a taxa de variação do volume dVdt, aplicamos derivação em relação ao tempo em ambos os lados da fórmula:
dVdt = ddt(pi r^2 h)
Usando a regra do produto e que pi é constante, temos:
dVdt = pil(2r hcdotdrdt + r^2cdotdhdtr)

Passo 4

Sabemos que no instante de interesse r=13 cm, h=18 cm, drdt=3 cm/min e dhdt=-2 cm/min (negativo porque a altura decresce). Substituindo na expressão de dVdt:
dVdt = pil(2cdot13cdot18cdot3 + 13^2cdot(-2)r)

Passo 5

Fazendo as contas:
  • 2cdot13cdot18cdot3 = 1404
  • 13^2cdot2 = 338
    Logo,
dVdt = pi(1404 - 338) = 1066,pi
e o sinal é positivo, mostrando que o volume final ainda cresce.

Resposta

1066,pi cm^3/min

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