Verifique as seguintes desigualdades
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a desigualdade
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo das funções logarítmica e raiz quadrada. Para resolver isso, precisamos comparar o comportamento dessas duas funções para diferentes valores de $ n $ e verificar onde a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções individualmente. A função
é crescente para $ n > 0 $, mas cresce lentamente. Já a função
também é crescente para $ n \geq 0 $, mas cresce mais rapidamente conforme $ n $ aumenta.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto onde as duas funções são iguais, ou seja, resolver a equação
. Isso nos ajudará a identificar onde a desigualdade muda de verdadeiro para falso ou vice-versa.
Passo 4
Para resolver
, podemos tentar encontrar uma solução aproximada por métodos numéricos ou gráficos, já que essa equação não tem solução analítica simples.
Passo 5
Após análise gráfica ou numérica, percebemos que a equação
tem uma solução em torno de $ n \approx e^2 $, onde as duas funções se igualam.
Passo 6
Agora, vamos testar valores de $ n $ menores e maiores que esse ponto. Por exemplo:
- Para $ n = 1 $,
e , então é verdadeiro. - Para $ n = e^2 $,
e , então é verdadeiro. - Para $ n = e^4 $,
e , então é verdadeiro.
Passo 7
Observamos que, para todos os valores testados, a desigualdade
se mantém verdadeira. Além disso, sabemos que
cresce mais lentamente que
, então a desigualdade se sustenta para todos os $ n \geq 1 $.
Resposta
A desigualdade
é válida para todos os números reais positivos $ n \geq 1 $.