Verifique as seguintes desigualdades
ln n <= raizn

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a desigualdade ln n <= raizn. O conteúdo envolvido aqui é o estudo das funções logarítmica e raiz quadrada. Para resolver isso, precisamos comparar o comportamento dessas duas funções para diferentes valores de $ n $ e verificar onde a desigualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções individualmente. A função ln n é crescente para $ n > 0 $, mas cresce lentamente. Já a função n > 0 também é crescente para $ n \geq 0 $, mas cresce mais rapidamente conforme $ n $ aumenta.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto onde as duas funções são iguais, ou seja, resolver a equação ln n = raizn. Isso nos ajudará a identificar onde a desigualdade muda de verdadeiro para falso ou vice-versa.

Passo 4

Para resolver ln n = raizn, podemos tentar encontrar uma solução aproximada por métodos numéricos ou gráficos, já que essa equação não tem solução analítica simples.

Passo 5

Após análise gráfica ou numérica, percebemos que a equação ln n = raizn tem uma solução em torno de $ n \approx e^2 $, onde as duas funções se igualam.

Passo 6

Agora, vamos testar valores de $ n $ menores e maiores que esse ponto. Por exemplo:
  • Para $ n = 1 $, n e n = 1 , então ln 1 = 0 é verdadeiro.
  • Para $ n = e^2 $, raiz1 = 1 e 0 <= 1, então n = e^2 é verdadeiro.
  • Para $ n = e^4 $, ln e^2 = 2 e raize^2 = e approx 2.718, então 2 <= 2.718 é verdadeiro.

Passo 7

Observamos que, para todos os valores testados, a desigualdade ln n <= raizn se mantém verdadeira. Além disso, sabemos que ln n cresce mais lentamente que raizn, então a desigualdade se sustenta para todos os $ n \geq 1 $.

Resposta

A desigualdade ln n <= raizn é válida para todos os números reais positivos $ n \geq 1 $.

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