Estude a convergência das séries seguintes:
sum 2^n+13^n+n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a série sum 2^n+13^n +n converge ou não. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da comparação ou o teste da razão. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar nossa análise. A série que temos é:
sum 2^n+13^n +n
Podemos reescrever 2^n+1 como 2 cdot 2^n, então:
2^n+13^n +n = 2 cdot 2^n3^n +n = 2 cdot 2^n3^n +n

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dos termos conforme n cresce. Para isso, vamos observar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: 2^n cresce exponencialmente.
  • Denominador: 3^n também cresce exponencialmente, mas n cresce linearmente, então para valores grandes de n, 3^n domina o denominador.
Portanto, podemos simplificar a expressão principal para:
2^n3^n = (23)^n

Passo 4

Agora, comparando com a série geométrica conhecida:
sum (23)^n
Sabemos que uma série geométrica sum ar^n converge se |r| < 1. Aqui, r = 23, que é menor que 1. Portanto, a série geométrica sum (23)^n converge.

Passo 5

Como vimos que 2^n3^n = (23)^n e essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação para concluir sobre a nossa série original.
Note que:
2^n3^n +n < 2^n3^n = (23)^n
Como estamos comparando com uma série que sabemos que converge, e nossos termos são menores que os termos dessa série convergente, então pela comparação, nossa série também converge.

Resposta

A série sum 2^n+13^n +n converge.

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