Estude a convergência das séries seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a série
converge ou não. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o teste da comparação ou o teste da razão. Vamos passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão geral da série para facilitar nossa análise. A série que temos é:
Podemos reescrever
como
, então:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dos termos conforme
cresce. Para isso, vamos observar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente:
- Numerador:
cresce exponencialmente. - Denominador:
também cresce exponencialmente, mas cresce linearmente, então para valores grandes de , domina o denominador.
Portanto, podemos simplificar a expressão principal para:
Passo 4
Agora, comparando com a série geométrica conhecida:
Sabemos que uma série geométrica
converge se
. Aqui,
, que é menor que 1. Portanto, a série geométrica
converge.
Passo 5
Como vimos que
e essa série converge, podemos usar o Teste da Comparação para concluir sobre a nossa série original.
Note que:
Como estamos comparando com uma série que sabemos que converge, e nossos termos são menores que os termos dessa série convergente, então pela comparação, nossa série também converge.
Resposta
A série
converge.