Estude a convergência das séries seguintes:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que estudar se a série
converge ou não. Isso está dentro do conteúdo de convergência de séries na matemática. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme
cresce e aplicar alguns testes de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o termo geral da série, que é
, quando
fica bem grande. Isso nos ajuda a ver se os termos estão diminuindo para zero rápido o suficiente para a série convergir.
Vamos simplificar
:
Agora, usando o desenvolvimento em série de Taylor para
quando
é pequeno (
aqui), temos:
Então:
Agora, subtraindo
:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo geral
se comporta como
.
Passo 3
Sabemos que a série
, conhecida como série harmônica, é divergente. Se conseguimos mostrar que nossos termos são comparáveis aos da série harmônica para
grande, então podemos concluir algo sobre a nossa série.
Aqui, vimos que:
Portanto, para
grande, os termos da nossa série são aproximadamente
, que é uma constante vezes
. Isso significa que a nossa série se comporta como a série
, ou seja, ela também é divergente.
Resposta
A série
diverge.