Estude a convergência das séries seguintes:
sum(raizn^2+1-n)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que estudar se a série sum(raizn^2+1 - n) converge ou não. Isso está dentro do conteúdo de convergência de séries na matemática. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série conforme n cresce e aplicar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o termo geral da série, que é raizn^2+1 - n, quando n fica bem grande. Isso nos ajuda a ver se os termos estão diminuindo para zero rápido o suficiente para a série convergir.
Vamos simplificar raizn^2+1:
raizn^2+1 = n raiz1 + 1n^2
Agora, usando o desenvolvimento em série de Taylor para raiz1 + x quando x é pequeno ( x = 1n^2 aqui), temos:
raiz1 + 1n^2 approx 1 + 12n^2
Então:
raizn^2+1 approx n (1 + 12n^2) = n + 12n
Agora, subtraindo n:
raizn^2+1 - n approx 12n
Isso significa que, para valores grandes de n, o termo geral raizn^2+1 - n se comporta como 12n.

Passo 3

Sabemos que a série sum 1n, conhecida como série harmônica, é divergente. Se conseguimos mostrar que nossos termos são comparáveis aos da série harmônica para n grande, então podemos concluir algo sobre a nossa série.
Aqui, vimos que:
raizn^2+1 - n approx 12n
Portanto, para n grande, os termos da nossa série são aproximadamente 12n, que é uma constante vezes 1n. Isso significa que a nossa série se comporta como a série sum 1n, ou seja, ela também é divergente.

Resposta

A série sum(raizn^2+1 - n) diverge.

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