Verifique as seguintes desigualdades
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa desigualdade que a gente precisa verificar: $ n^{2} \leq 2^{n} $. Esse exercício está relacionado ao estudo de funções exponenciais e polinomiais, e vamos precisar comparar o crescimento dessas duas funções para diferentes valores de $ n $. Para resolver isso, vamos analisar os valores de $ n $ e ver para quais deles a desigualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos testar alguns valores de $ n $ para ver como as duas expressões se comportam. Vamos começar com $ n = 1 $:
- $ 1^{2} = 1 $
- $ 2^{1} = 2 $
Aqui, $ 1 \leq 2 $ é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos para $ n = 2 $:
- $ 2^{2} = 4 $
- $ 2^{2} = 4 $
Neste caso, $ 4 \leq 4 $ também é verdadeiro.
Passo 4
Vamos testar $ n = 3 $:
- $ 3^{2} = 9 $
- $ 2^{3} = 8 $
Aqui, $ 9 \leq 8 $ é falso. Então, para $ n = 3 $, a desigualdade não vale.
Passo 5
Vamos verificar $ n = 4 $:
- $ 4^{2} = 16 $
- $ 2^{4} = 16 $
Novamente, $ 16 \leq 16 $ é verdadeiro.
Passo 6
Agora, para $ n = 5 $:
- $ 5^{2} = 25 $
- $ 2^{5} = 32 $
Aqui, $ 25 \leq 32 $ é verdadeiro.
Passo 7
Vamos continuar com $ n = 6 $:
- $ 6^{2} = 36 $
- $ 2^{6} = 64 $
Claro que $ 36 \leq 64 $ é válido.
Passo 8
Observando os padrões, percebemos que conforme $ n $ aumenta, $ 2^{n} $ cresce muito mais rápido que $ n^{2} $. Portanto, a partir de certo valor de $ n $, essa desigualdade sempre será verdadeira.
Resposta
A desigualdade $ n^{2} \leq 2^{n} $ é verdadeira para todos os inteiros positivos $ n \geq 1 $, exceto quando $ n = 3 $, onde a igualdade não se sustenta.