Seja a sequência definida por
. Verifique se
é convergente e, em caso afirmativo, calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma sequência definida por $ x_{1} = 1 $ e $ x_{n+1} = 9 - 2x_{n} $. O conteúdo aqui é sobre sequences (sequências) e convergência, ou seja, se a sequência se aproxima de um certo valor à medida que avançamos nos termos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as sequências funcionam e como determinar se elas convergem para um limite específico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser convergente. Uma sequência é convergente se, conforme $ n $ cresce, os termos $ x_{n} $ se aproximam cada vez mais de um número fixo, que chamamos de limite.
Passo 3
Para descobrir se nossa sequência $ x_{n} $ converge, vamos supor que ela realmente chega a um limite, que vamos chamar de $ L $. Se a sequência converge para $ L $, então tanto $ x_{n} $ quanto $ x_{n+1} $ vão se aproximar de $ L $. Então, podemos substituir na regra da sequência:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de $ L $.
Primeiro, somamos $ 2L $ dos dois lados:
Isso simplifica para:
Passo 5
Dividindo ambos os lados por 3 para isolar $ L $:
Passo 6
Então, encontramos que $ L = 3 $. Agora, precisamos confirmar se a sequência realmente converge para esse valor.
Vamos calcular alguns termos da sequência para ver o comportamento:
Observamos que os termos estão oscilando e crescendo em magnitude, o que sugere que a sequência não está se estabilizando em torno de 3, mas sim se afastando cada vez mais.
Passo 7
Apesar de termos encontrado um valor $ L = 3 $ que satisfaz a equação $ L = 9 - 2L $, os cálculos dos termos mostram que a sequência não está realmente convergindo para esse limite. Na verdade, ela diverge, já que os termos continuam aumentando e alternando de sinal sem se aproximar de um valor fixo.
Resposta
A sequência $ x_{n} $ não é convergente.