\vec{F}=\left(e^{x} \sin y, e^{x} \cos y, z^{2}\right)
\sigma(t)=\left(\sqrt{t}, t^{3}, e^{\sqrt{t}}\right) \quad \int_{\sigma}^{\vec{F}} \vec{F} d l
0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y,z)=\bigl(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y,\;z^{2}\bigr)
e a curva parametrizada
\sigma(t)=\bigl(\sqrt t,\;t^{3},\;e^{\sqrt t}\bigr), com 0\le t\le1.
Precisamos calcular o integral de linha
\displaystyle\int_{\sigma}\vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

Vamos checar se \vec F é conservativo, ou seja, se existe potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec F.
Definindo
\vec F=(P,Q,R) com
P=e^{x}\sin y,\quad Q=e^{x}\cos y,\quad R=z^{2},
verificamos
\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^{x}\cos y,
\frac{\partial P}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial y}=0.
Como as iguais correspondências ocorrem, \vec F é conservativo em \mathbb R^{3}.

Passo 3

Para achar o potencial \varphi(x,y,z), integramos P em x:
\varphi(x,y,z) =\int e^{x}\sin y\,dx =e^{x}\sin y +h(y,z).
Como \varphi_{y}=Q, temos
\varphi_{y}=e^{x}\cos y +h_{y}(y,z)\overset!=e^{x}\cos y,
logo h_{y}=0 e h depende só de z. Chamando h(z)=k(z), vem
\varphi(x,y,z)=e^{x}\sin y +k(z).
Finalmente, exigindo \varphi_{z}=R=z^{2}, obtemos
k'(z)=z^{2}\quad\Longrightarrow\quad k(z)=\frac{z^{3}}{3}+C.
Portanto, podemos escolher
\varphi(x,y,z)=e^{x}\sin y +\frac{z^{3}}{3}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das Linhais para campos conservativos,
\int_{\sigma}\vec F\cdot d\vec r =\varphi\bigl(\sigma(1)\bigr)-\varphi\bigl(\sigma(0)\bigr).

Passo 5

Em t=1 temos \sigma(1)=(1,1,e), então
\varphi\bigl(\sigma(1)\bigr) =e^{1}\sin1+\frac{e^{3}}{3} =e\sin1+\frac{e^{3}}{3}.
Em t=0 temos \sigma(0)=(0,0,1), logo
\varphi\bigl(\sigma(0)\bigr) =e^{0}\sin0+\frac{1^{3}}{3} =0+\frac{1}{3} =\frac{1}{3}.
Subtraindo,
\int_{\sigma}\vec F\cdot d\vec r =e\sin1+\frac{e^{3}}{3}-\frac{1}{3}.

Resposta

\boxed{\,e\sin1+\frac{e^{3}-1}{3}\,}.

Exercícios relacionados