Estude a convergência das séries utilizando o teste de Leibniz.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n+1}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado pede: estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+1}{3n+1}.
Informações dadas que vamos usar:
\text{o soma é alternada e o termo geral é }a_n = (-1)^{n+1}\frac{n+1}{3n+1}.éé
Também usaremos a sequência dos módulos dos termos
b_n=\frac{n+1}{3n+1},
que é não negativa para n\ge1.

Passo 2

Vamos recordar duas coisas essenciais que aparecem no teste de Leibniz (alternating series test) e em argumentos básicos de convergência:
  1. Teste de Leibniz (forma prática): para uma série alternada da forma \sum (-1)^{n} b_n com b_n\ge 0, se b_n é monotona decrescente (ou pelo menos eventualmente decrescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série converge. Aqui é importante entender cada condição:
    • b_n\ge0: os b_n são os módulos (valores absolutos) dos termos.
    • monotonia: serve para controlar os erros dos somatórios parciais.
    • limite zero: se os b_n não tendem a zero, não há como a soma alternativa “fechar” num valor único.
  2. Condição necessária para qualquer série \sum a_n (não só alternada): é necessário que \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Se \lim a_n \neq 0, então a série diverge imediatamente (teste do termo geral). Isso é mais básico e vale antes de aplicar qualquer teste mais sofisticado.

Passo 3

Calcular o limite do módulo dos termos b_n=\dfrac{n+1}{3n+1}. Para isso dividimos numerador e denominador por n:
b_n = \frac{n+1}{3n+1} = \frac{1+\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty. Como \frac{1}{n}\to 0, temos
\lim_{n\to\infty} b_n = \frac{1+0}{3+0} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Interpretando o resultado anterior: \lim_{n\to\infty} b_n = \dfrac{1}{3}\neq 0. Então o termo geral da série não tende a zero:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (-1)^{n+1} b_n \text{ não existe como zero (os módulos tendem a }1/3\text{)}.ãó
Pelo teste do termo geral (condição necessária), se os termos a_n não tendem a zero, a série não pode convergir. Portanto a série diverge. Observação: como \lim b_n\neq 0 também falha a condição necessária do teste de Leibniz, não podemos usar Leibniz para concluir convergência — e, na verdade, obtemos divergência imediatamente.

Passo 5

Para intuir o comportamento: os termos não tendem a zero, então os somatórios parciais ficam oscilando com amplitude que não vai a zero (aproximadamente alternando acréscimos/subtrações de algo próximo a \tfrac{1}{3}), o que impede convergência.

Resposta

A série diverge, pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{3n+1}=\dfrac{1}{3}\neq 0.

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