Estude a convergência das séries utilizando o teste de Leibniz.
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência da série
Informações dadas que vamos usar:
Também usaremos a sequência dos módulos dos termos
que é não negativa para
.
Passo 2
Vamos recordar duas coisas essenciais que aparecem no teste de Leibniz (alternating series test) e em argumentos básicos de convergência:
- Teste de Leibniz (forma prática): para uma série alternada da forma
com , se é monotona decrescente (ou pelo menos eventualmente decrescente) e , então a série converge. Aqui é importante entender cada condição: -
: os são os módulos (valores absolutos) dos termos. - monotonia: serve para controlar os erros dos somatórios parciais.
- limite zero: se os
não tendem a zero, não há como a soma alternativa “fechar” num valor único.
-
- Condição necessária para qualquer série
(não só alternada): é necessário que . Se , então a série diverge imediatamente (teste do termo geral). Isso é mais básico e vale antes de aplicar qualquer teste mais sofisticado.
Passo 3
Calcular o limite do módulo dos termos
. Para isso dividimos numerador e denominador por
:
Agora tomamos limite quando
. Como
, temos
Passo 4
Interpretando o resultado anterior:
. Então o termo geral da série não tende a zero:
Pelo teste do termo geral (condição necessária), se os termos
não tendem a zero, a série não pode convergir. Portanto a série diverge. Observação: como
também falha a condição necessária do teste de Leibniz, não podemos usar Leibniz para concluir convergência — e, na verdade, obtemos divergência imediatamente.
Passo 5
Para intuir o comportamento: os termos não tendem a zero, então os somatórios parciais ficam oscilando com amplitude que não vai a zero (aproximadamente alternando acréscimos/subtrações de algo próximo a
), o que impede convergência.
Resposta
A série diverge, pois
.