Utilize o teste da comparação e o teste da comparação por limite para analisar o comportamento das séries.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu analise o comportamento (convergência ou divergência) da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n}+1}
usando o teste da comparação e o teste da comparação por limite. Informações dadas e observações iniciais úteis:
  • A série é a soma dos termos a_{n}=\dfrac{2}{5^{n}+1} para n=1,2,\dots.
  • Cada termo a_{n} é positivo (pois 5^{n}+1>0 para todo n).
  • O objetivo é decidir se a série converge ou diverge, usando os dois testes solicitados.

Passo 2

Verifico que os termos são positivos (pré-condição para aplicar os testes de comparação): para todo n temos 5^{n}+1>0, logo
a_{n}=\frac{2}{5^{n}+1}>0.
Isso me permite aplicar tanto o teste da comparação direta quanto o teste da comparação por limite (que exigem termos não-negativos).

Passo 3

Escolho uma série de comparação natural: uma série geométrica cujo termo geral seja simples e semelhante ao de a_{n}. Como 5^{n} domina +1 para n grande, uma boa escolha é
b_{n}=\frac{2}{5^{n}}=2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Explico por que b_{n} é apropriada:
  • Compare a_{n} e b_{n}. Como 5^{n}+1>5^{n} temos
\frac{1}{5^{n}+1}<\frac{1}{5^{n}},
e multiplicando por 2>0 obtemos
a_{n}=\frac{2}{5^{n}+1}<\frac{2}{5^{n}}=b_{n}.
  • Portanto, para todo n,
0\le a_{n}\le b_{n}.

Passo 4

Agora uso o teste da comparação direta (enunciado e aplicação):
  • Teorema (forma usada): se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n a partir de algum N e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge.
  • A série \sum b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}2\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{5} tal que |r|<1, portanto converge. Posso até calcular sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty}2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=2\cdot\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=2\cdot\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
  • Como 0\le a_{n}\le b_{n} e \sum b_{n} converge, o teste da comparação nos garante que \sum a_{n} converge.

Passo 5

Faço também a verificação pelo teste da comparação por limite (para treinar e confirmar):
  • Enunciado do teste: se a_{n}>0 e b_{n}>0 para todo n e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}
existe com 0<L<\infty, então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
  • Calculo o limite usando a_{n}=\dfrac{2}{5^{n}+1} e b_{n}=\dfrac{2}{5^{n}}:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{2}{5^{n}+1}}{\dfrac{2}{5^{n}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{5^{n}}{5^{n}+1}.
  • Para calcular o limite, fatoro 5^{n} no denominador ou reconheço que quando n\to\infty o termo +1 é insignificante frente a 5^{n}, então
\lim_{n\to\infty}\frac{5^{n}}{5^{n}+1}=1.
  • O limite L=1 é finito e positivo, logo pelo teste da comparação por limite \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento. Como já sabemos que \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge.

Passo 6

Conclusão final e interpretação didática:
  • Pelo teste da comparação direta (usando b_{n}=\dfrac{2}{5^{n}}) obtive uma comparação direta que garante convergência.
  • Pelo teste da comparação por limite confirmei que o termo a_{n} é assintoticamente equivalente ao termo da geométrica b_{n} (o quociente tende a 1), reforçando que ambas as séries têm o mesmo comportamento.
  • Como todos os termos são positivos, a convergência é absoluta automaticamente.

Resposta

Converge (convergente absoluta)

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