Utilize o teste da comparação e o teste da comparação por limite para analisar o comportamento das séries.
Passo 1
O enunciado pede que eu analise o comportamento (convergência ou divergência) da série
usando o teste da comparação e o teste da comparação por limite. Informações dadas e observações iniciais úteis:
- A série é a soma dos termos
para . - Cada termo
é positivo (pois para todo ). - O objetivo é decidir se a série converge ou diverge, usando os dois testes solicitados.
Passo 2
Verifico que os termos são positivos (pré-condição para aplicar os testes de comparação): para todo
temos
, logo
Isso me permite aplicar tanto o teste da comparação direta quanto o teste da comparação por limite (que exigem termos não-negativos).
Passo 3
Escolho uma série de comparação natural: uma série geométrica cujo termo geral seja simples e semelhante ao de
. Como
domina
para
grande, uma boa escolha é
Explico por que
é apropriada:
- Compare
e . Como temos
e multiplicando por
obtemos
- Portanto, para todo
,
Passo 4
Agora uso o teste da comparação direta (enunciado e aplicação):
- Teorema (forma usada): se
para todo a partir de algum e converge, então também converge. - A série
é uma série geométrica com razão tal que , portanto converge. Posso até calcular sua soma:
- Como
e converge, o teste da comparação nos garante que converge.
Passo 5
Faço também a verificação pelo teste da comparação por limite (para treinar e confirmar):
- Enunciado do teste: se
e para todo e
existe com
, então
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
- Calculo o limite usando
e :
- Para calcular o limite, fatoro
no denominador ou reconheço que quando o termo é insignificante frente a , então
- O limite
é finito e positivo, logo pelo teste da comparação por limite e têm o mesmo comportamento. Como já sabemos que converge, então também converge.
Passo 6
Conclusão final e interpretação didática:
- Pelo teste da comparação direta (usando
) obtive uma comparação direta que garante convergência. - Pelo teste da comparação por limite confirmei que o termo
é assintoticamente equivalente ao termo da geométrica (o quociente tende a ), reforçando que ambas as séries têm o mesmo comportamento. - Como todos os termos são positivos, a convergência é absoluta automaticamente.
Resposta
Converge (convergente absoluta)