Utilize o teste da comparação e o teste da comparação por limite para analisar o comportamento das séries.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3+4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o comportamento (convergência ou divergência) da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3+4^{n}}.
Informações dadas e observações imediatas:\n
  • Os termos gerais são a_{n}=\dfrac{1}{3+4^{n}}.\n
  • Para todo n\ge 1 temos a_{n}>0 (são termos positivos).\n
  • A tarefa é usar o teste da comparação e o teste da comparação por limite para decidir se a série converge ou diverge.\n

Passo 2

Explicando o teste da comparação (direta) de forma didática:\n
  • Teorema (comparação direta): sejam (a_n) e (b_n) sequências com a_n\ge 0 e b_n\ge 0 para todo n. Se existir N tal que, para todo n\ge N, a_n \le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Se existir N tal que a_n \ge b_n e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.\n
  • O que cada símbolo significa: a_n e b_n são os termos das duas séries; a desigualdade compara termo a termo; a convergência de \sum b_n serve como “padrão” para concluir sobre \sum a_n.\n
  • Ideia prática no exame: encontrar uma série conhecida \sum b_n (normalmente geométrica ou p‑série) que domine a_n ou seja dominada por a_n.

Passo 3

Aplicando o teste da comparação direta ao nosso caso:\n
  • Observe que, para todo n\ge 1, 3+4^{n}\ge 4^{n}. Portanto
\frac{1}{3+4^{n}} \le \frac{1}{4^{n}}.
  • Então, tomando a_n=\dfrac{1}{3+4^{n}} e b_n=\dfrac{1}{4^{n}}, temos 0\le a_n\le b_n para todo n.\n
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^{n}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{4}. Uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se |r|<1.\n
  • Calculando rapidamente a soma da geométrica para referência:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n}} = \frac{1/4}{1-1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3},
logo \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{4^{n}} converge.\n
  • Pelo teste da comparação direta, como a_n\le b_n e \sum b_n converge, concluímos que \sum a_n também converge.

Passo 4

Agora vou explicar o teste da comparação por limite (limit comparison) de forma didática:\n
  • Teorema (comparação por limite): sejam a_n>0 e b_n>0 para todo n. Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
e 0< L < \infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.\n
  • Interpretação: se a_n e b_n são assintoticamente proporcionais (razão tende a uma constante finita positiva), então comparar uma com a outra é válido para decidir convergência.

Passo 5

Aplicando a comparação por limite ao nosso problema:\n
  • Tome a_n=\dfrac{1}{3+4^{n}} e b_n=\dfrac{1}{4^{n}} (mesma escolha que antes). Calculemos
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{3+4^{n}}}{\dfrac{1}{4^{n}}}=\frac{4^{n}}{3+4^{n}}.
  • Para achar o limite quando n\to\infty, divida numerador e denominador por 4^{n}:
\frac{4^{n}}{3+4^{n}}=\frac{1}{3\cdot 4^{-n}+1}.
Quando n\to\infty temos 4^{-n}\to 0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n}}{3+4^{n}}=\frac{1}{0+1}=1.
  • O limite L=1 é um número finito e positivo ( 0<1<\infty). Pelo teste da comparação por limite, \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Como já sabemos que \sum b_n=\sum 1/4^{n} converge, segue que \sum a_n converge também.\n
  • Conclusão: o teste por limite confirma o resultado obtido pelo teste direto.

Passo 6

Resumo didático e dica de prova:\n
  • Resultado prático: para séries com termos que envolvem potências como 4^{n}, compare com uma série geométrica \sum 1/4^{n} — normalmente dá certo porque o termo constante somado (aqui o 3) torna-se irrelevante para grandes n.\n
  • Em provas: é seguro mostrar a desigualdade para o teste direto (como fizemos) e, se quiser reforçar, calcular a razão de comparação e mostrar que ela tende a um número positivo (aqui 1). Isso torna a resposta à prova robusta.\n
  • Como os termos são positivos, não há questão de convergência condicional/absoluta: convergência simples já significa convergência absoluta neste contexto.

Resposta

A série converge.

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