Utilize o teste da comparação e o teste da comparação por limite para analisar o comportamento das séries.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o comportamento (convergência ou divergência) da série
Informações dadas e observações imediatas:\n
- Os termos gerais são
.\n - Para todo
temos (são termos positivos).\n - A tarefa é usar o teste da comparação e o teste da comparação por limite para decidir se a série converge ou diverge.\n
Passo 2
Explicando o teste da comparação (direta) de forma didática:\n
- Teorema (comparação direta): sejam
e sequências com e para todo . Se existir tal que, para todo , e converge, então também converge. Se existir tal que e diverge, então diverge.\n - O que cada símbolo significa:
e são os termos das duas séries; a desigualdade compara termo a termo; a convergência de serve como “padrão” para concluir sobre .\n - Ideia prática no exame: encontrar uma série conhecida
(normalmente geométrica ou p‑série) que domine ou seja dominada por .
Passo 3
Aplicando o teste da comparação direta ao nosso caso:\n
- Observe que, para todo
, . Portanto
- Então, tomando
e , temos para todo .\n - A série
é uma série geométrica com razão . Uma série geométrica converge se .\n - Calculando rapidamente a soma da geométrica para referência:
logo
converge.\n
- Pelo teste da comparação direta, como
e converge, concluímos que também converge.
Passo 4
Agora vou explicar o teste da comparação por limite (limit comparison) de forma didática:\n
- Teorema (comparação por limite): sejam
e para todo . Se existir o limite
e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.\n
- Interpretação: se
e são assintoticamente proporcionais (razão tende a uma constante finita positiva), então comparar uma com a outra é válido para decidir convergência.
Passo 5
Aplicando a comparação por limite ao nosso problema:\n
- Tome
e (mesma escolha que antes). Calculemos
- Para achar o limite quando
, divida numerador e denominador por :
Quando
temos
, então
- O limite
é um número finito e positivo ( ). Pelo teste da comparação por limite, e têm o mesmo comportamento. Como já sabemos que converge, segue que converge também.\n - Conclusão: o teste por limite confirma o resultado obtido pelo teste direto.
Passo 6
Resumo didático e dica de prova:\n
- Resultado prático: para séries com termos que envolvem potências como
, compare com uma série geométrica — normalmente dá certo porque o termo constante somado (aqui o ) torna-se irrelevante para grandes .\n - Em provas: é seguro mostrar a desigualdade para o teste direto (como fizemos) e, se quiser reforçar, calcular a razão de comparação e mostrar que ela tende a um número positivo (aqui
). Isso torna a resposta à prova robusta.\n - Como os termos são positivos, não há questão de convergência condicional/absoluta: convergência simples já significa convergência absoluta neste contexto.
Resposta
A série converge.