Estude o comportamento das séries alternadas, verificando se são absolutamente, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Informações dadas:
  • A soma é uma série infinita com termo geral (-1)^{n+1}\dfrac{3^{n}}{n^{2}}.
  • O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • Devemos decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 2

Condição necessária para convergência: se uma série \sum x_n converge então o termo geral x_n deve tender a zero quando n\to\infty. Vou aplicar isso aqui ao termo geral
x_n = (-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Para verificar se x_n\to 0 é útil olhar o valor absoluto do termo:
|x_n|=\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Note que \frac{3^{n}}{n^{2}} envolve uma exponencial 3^{n} dividida por um polinômio n^{2}. Em comparação grosseira (e muito útil em provas), exponenciais crescem muito mais rápido que qualquer polinômio, então esperamos que \frac{3^{n}}{n^{2}}\to\infty, isto é, não tende a zero. Vou mostrar isso de forma simples calculando a razão entre termos consecutivos do módulo:

Passo 3

Calcule a razão
\frac{|x_{n+1}|}{|x_n|}=\frac{\dfrac{3^{n+1}}{(n+1)^2}}{\dfrac{3^{n}}{n^{2}}} =3\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Agora tomamos limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}3\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}=3\cdot 1 = 3.
Como a razão entre termos consecutivos tende a 3>1, os termos |x_n|=\dfrac{3^{n}}{n^{2}} crescem geometricamente em média, e portanto
\lim_{n\to\infty}|x_n|=\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{n^{2}}=+\infty.
Logo o termo geral x_n não tende a zero; na verdade |x_n|\to\infty, o que implica x_n também não tende a zero. Pelas regras básicas de séries, se o termo geral não tende a zero, a série \sum x_n diverge.

Passo 4

Conferindo convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n^{2}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Podemos aplicar o teste da razão (ou observar o que já vimos em

Passo 5

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=3>1.
Quando a razão limite é maior que 1, a série de termos positivos diverge (os termos não tendem a zero e crescem). Portanto a série dos módulos diverge, ou seja, a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Conclusão sobre convergência condicional: uma série é condicionalmente convergente quando converge, mas não converge absolutamente. Já estabelecemos que a série original diverge (porque o termo geral não tende a zero). Logo ela também não é condicionalmente convergente.

Resposta

A série diverge (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).

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