Estude o comportamento das séries alternadas, verificando se são absolutamente, condicionalmente convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Informações dadas:
A soma é uma série infinita com termo geral (-1)^{n+1}\dfrac{3^{n}}{n^{2}}.
O sinal alterna por causa do fator (-1)^{n+1}.
Devemos decidir se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 2
Condição necessária para convergência: se uma série \sum x_n converge então o termo geral x_n deve tender a zero quando n\to\infty. Vou aplicar isso aqui ao termo geral
x_n = (-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Para verificar se x_n\to 0 é útil olhar o valor absoluto do termo:
|x_n|=\frac{3^{n}}{n^{2}}.
Note que \frac{3^{n}}{n^{2}} envolve uma exponencial 3^{n} dividida por um polinômio n^{2}. Em comparação grosseira (e muito útil em provas), exponenciais crescem muito mais rápido que qualquer polinômio, então esperamos que \frac{3^{n}}{n^{2}}\to\infty, isto é, não tende a zero. Vou mostrar isso de forma simples calculando a razão entre termos consecutivos do módulo:
Logo o termo geral x_n não tende a zero; na verdade |x_n|\to\infty, o que implica x_n também não tende a zero. Pelas regras básicas de séries, se o termo geral não tende a zero, a série \sum x_n diverge.
Passo 4
Conferindo convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
Podemos aplicar o teste da razão (ou observar o que já vimos em
Passo 5
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=3>1.
Quando a razão limite é maior que 1, a série de termos positivos diverge (os termos não tendem a zero e crescem). Portanto a série dos módulos diverge, ou seja, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Conclusão sobre convergência condicional: uma série é condicionalmente convergente quando converge, mas não converge absolutamente. Já estabelecemos que a série original diverge (porque o termo geral não tende a zero). Logo ela também não é condicionalmente convergente.
Resposta
A série diverge (não é absolutamente nem condicionalmente convergente).