Enunciado e o que nos pedem (peguei tudo do enunciado):
Sabemos que \displaystyle a_{n}\to 3 quando n\to\infty.
Sabemos que \displaystyle b_{n}\to 2 quando n\to\infty.
A pergunta (parte (c)) é determinar \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}.
Passo 2
Observação importante sobre condição necessária:
Para que o quociente \dfrac{a_n}{b_n} tenha comportamento bem definido no limite, é preciso que o denominador não tenda a zero. Aqui temos \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 2, que é diferente de zero. Portanto não há problema com divisão por zero no limite — podemos prosseguir.
Passo 3
Ideia geral (intuição antes da prova formal):
Quando duas sequências convergem, o quociente costuma convergir para o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Ou seja, esperamos que
Dado \varepsilon>0, escolha tolerâncias para controlar cada termo:
Seja \delta_a=\dfrac{\varepsilon}{2}. Como a_n\to 3, existe N_2 tal que para todo n\ge N_2 temos |a_n-3|<\delta_a.
Seja \delta_b=\dfrac{\varepsilon}{3}. Como b_n\to 2, existe N_3 tal que para todo n\ge N_3 temos |b_n-2|<\delta_b. Além disso, podemos escolher N_3 de forma que também garanta |b_n-2|<1 (isso é possível porque temos convergência).
Tome N=\max\{N_1,N_2,N_3\}. Então, para todo n\ge N vale:
Isso mostra rigorosamente que \displaystyle \frac{a_n}{b_n}\to L.
Passo 7
Conclusão prática (sem repetir a resposta final aqui):
Demonstramos que o limite da razão é igual ao quociente dos limites, dado que o limite do denominador é diferente de zero. Portanto o limite pedido existe e é exatamente o quociente \dfrac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}.