Sejam a_{n} \rightarrow 3 e b_{n} \rightarrow 2. Determine:
(c) \lim \frac{a_{n}}{b_{n}}

Passo 1

Enunciado e o que nos pedem (peguei tudo do enunciado):
  • Sabemos que \displaystyle a_{n}\to 3 quando n\to\infty.
  • Sabemos que \displaystyle b_{n}\to 2 quando n\to\infty.
  • A pergunta (parte (c)) é determinar \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}.

Passo 2

Observação importante sobre condição necessária:
  • Para que o quociente \dfrac{a_n}{b_n} tenha comportamento bem definido no limite, é preciso que o denominador não tenda a zero. Aqui temos \displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = 2, que é diferente de zero. Portanto não há problema com divisão por zero no limite — podemos prosseguir.

Passo 3

Ideia geral (intuição antes da prova formal):
  • Quando duas sequências convergem, o quociente costuma convergir para o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Ou seja, esperamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}.
  • Vou mostrar uma prova estilo \varepsilon- N para justificar isso de forma rigorosa (é o tipo de argumento que pode cair numa prova).

Passo 4

Reescrevendo a diferença que queremos controlar:
  • Seja L o quociente dos limites, isto é L=\dfrac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}.
  • Queremos mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L, isto é, dado \varepsilon>0 existe N tal que para todo n\ge N
\left|\frac{a_n}{b_n}-L\right|<\varepsilon.
  • Faça a manipulação algébrica útil: usando os limites conhecidos, escrevemos (aqui a álgebra é válida sempre que b_n\neq 0)
\frac{a_n}{b_n}-L=\frac{2a_n-3b_n}{2b_n}.
Uma forma conveniente de decompor o numerador é
2a_n-3b_n=2(a_n-3)-3(b_n-2),
portanto
\left|\frac{a_n}{b_n}-L\right|=\frac{\big|\,2(a_n-3)-3(b_n-2)\,\big|}{2|b_n|}.

Passo 5

Estimativa com desigualdade triangular e controle do denominador:
  • Pela desigualdade triangular,
\big|\,2(a_n-3)-3(b_n-2)\,\big|\le 2|a_n-3|+3|b_n-2|.
  • Logo
\left|\frac{a_n}{b_n}-L\right|\le\frac{2|a_n-3|+3|b_n-2|}{2|b_n|}.
  • Como \displaystyle b_n\to 2, existe N_1 tal que para todo n\ge N_1 vale |b_n-2|<1. Isso implica |b_n|>1 para n\ge N_1. Assim, para n\ge N_1,
\left|\frac{a_n}{b_n}-L\right|\le\frac{2|a_n-3|+3|b_n-2|}{2\cdot 1}=\frac{2|a_n-3|+3|b_n-2|}{2}.

Passo 6

Escolha dos N usando o critério \varepsilon:
  • Dado \varepsilon>0, escolha tolerâncias para controlar cada termo:
    • Seja \delta_a=\dfrac{\varepsilon}{2}. Como a_n\to 3, existe N_2 tal que para todo n\ge N_2 temos |a_n-3|<\delta_a.
    • Seja \delta_b=\dfrac{\varepsilon}{3}. Como b_n\to 2, existe N_3 tal que para todo n\ge N_3 temos |b_n-2|<\delta_b. Além disso, podemos escolher N_3 de forma que também garanta |b_n-2|<1 (isso é possível porque temos convergência).
  • Tome N=\max\{N_1,N_2,N_3\}. Então, para todo n\ge N vale:
\left|\frac{a_n}{b_n}-L\right|\le\frac{2|a_n-3|+3|b_n-2|}{2} <\frac{2\cdot(\varepsilon/2)+3\cdot(\varepsilon/3)}{2} =\frac{\varepsilon+\varepsilon}{2}=\varepsilon.
  • Isso mostra rigorosamente que \displaystyle \frac{a_n}{b_n}\to L.

Passo 7

Conclusão prática (sem repetir a resposta final aqui):
  • Demonstramos que o limite da razão é igual ao quociente dos limites, dado que o limite do denominador é diferente de zero. Portanto o limite pedido existe e é exatamente o quociente \dfrac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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