Resolva as integrais abaixo:
integral 1raiz1+(u)^2 d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem a seguinte expressão para integrar:
integral 1raiz1 + u^2 , du
Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente de integrais que envolvem funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer uma fórmula básica de integração e entender um pouco sobre funções inversas hiperbolicas ou logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de integral que temos aqui. A função dentro da integral é 1raiz1 + u^2. Essa forma é conhecida e tem uma integral padrão que podemos usar diretamente. A integral de 1raiz1 + x^2 em relação a x é conhecida por resultar em uma função logarítmica ou na função inversa hiperbólica seno, chamada sinh^-1(x).

Passo 3

Vamos usar a fórmula de integração que diz:
integral 1raiz1 + x^2 , dx = sinh^-1(x) + C
Onde C é a constante de integração. A função sinh^-1(x) também pode ser expressa de forma equivalente usando logaritmos:
sinh^-1(x) = ln(x + raiz1 + x^2)
Então, podemos escrever a integral de duas maneiras.

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa integral original, que é em termos de u, temos:
integral 1raiz1 + u^2 , du = sinh^-1(u) + C
Ou, na forma logarítmica:
integral 1raiz1 + u^2 , du = ln(u + raiz1 + u^2) + C

Resposta

A integral é igual a:
ln(u + raiz1 + u^2) + C

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