Estude as convergências das sequências (an) :
ln (n)e^n

Passo 1

Temos a sequência an = tfracln(n)e^n. O conteúdo é limite de sequência envolvendo logaritmo e exponencial, e vamos usar a regra de L’Hôpital para funções do tipo tfracinftyinfty.

Passo 2

Para achar limntoinftyan, estendemos para a função f(x)=tfracln(x)e^x. Aplicando L’Hôpital:
limxtoinftyln(x)e^x=limxtoinfty1/xe^x=0
Logo limntoinftyan=0.

Passo 3

Mostramos que an>0 para todo n e que a sequência é decrescente a partir de n=2. De fato,
an+1an=ln(n+1)ln(n)cdot1e
Como tfracln(n+1)ln(n)<=tfracln3ln2approx1.585 e 1/eapprox0.367, segue an+1/an<1. Sendo positiva, decrescente e com limite zero, converge para 0.

Resposta

A sequência an=tfracln(n)e^n converge para 0.

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