Estude as convergências das sequências (an) :
(3^n+4^n)^1 / n

Passo 1

Neste exercício, a gente estuda a convergência da sequência an = (3^n + 4^n)^1/n. O conteúdo é limite de sequência envolvendo potência e raiz, e vamos precisar usar fatoração e propriedades de logaritmo para analisar o termo (3^n+4^n)^1/n.

Passo 2

Para simplificar, fatoramos 4^n dentro da raiz: temos
(3^n + 4^n)^1/n = l(4^n,( (3/4)^n + 1)r)^1/n = 4,l((3/4)^n + 1r)^1/n
Agora, vamos ver o comportamento de l((3/4)^n + 1r)^1/n. Usamos logaritmo:
lnl((3/4)^n + 1r)^1/n = 1n,lnl(1 + (3/4)^nr)

Passo 3

Como (3/4)^n to 0 quando ntoinfty, temos lnl(1 + (3/4)^nr) sim (3/4)^n, e portanto
1n,lnl(1 + (3/4)^nr) to 0

Passo 4

Isso implica que l((3/4)^n + 1r)^1/n to e^0 = 1. Então voltando a an,
an = 4,l((3/4)^n + 1r)^1/n to 4 times 1 = 4

Resposta

A sequência converge e seu limite é 4.

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