Estude as convergências das sequências (an) :
n!3^(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência an = n!3^n+1. O conteúdo aqui é convergência de sequências e vamos usar o teste da razão, que compara o quociente an+1an com 1 para decidir se a sequência cresce ou decresce e se é limitada.

Passo 2

Calculamos o quociente entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)!3^n+2n!3^n+1 = (n+1)!n!cdot3^n+13^n+2 = n+13
Esse resultado mostra que, para todo n>= 2, temos an+1an>1, ou seja, a sequência é crescente a partir de certa posição.

Passo 3

Como o quociente n+13 cresce sem limite quando ntoinfty, a sequência não pode ser limitada superiormente e tende a +infty. Logo, não converge para um valor finito e diverge para infinito.

Resposta

Não converge: limntoinftyan=+infty, ou seja, a sequência diverge.

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