Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma soma e queremos reescrevê-lo como uma integral definida no intervalo de
a
. O conteúdo aqui é Cálculo Integral, especificamente o conceito de soma de Riemann e como ela se relaciona com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar identificar a função que está sendo somada e o intervalo de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Basicamente, é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenos pedaços (chamados de subintervalos) e somando as áreas de retângulos que ficam sobre esses pedaços. Quando o número de subintervalos aumenta para o infinito, a soma de Riemann se aproxima da integral definida da função no intervalo.
Passo 3
Na soma que temos:
a parte
representa a altura do retângulo em cada subintervalo, ou seja, é a função
. A
representa a largura de cada subintervalo. O limite quando
significa que estamos considerando infinitos subintervalos, o que nos leva exatamente à definição de uma integral definida.
Passo 4
Agora, para escrever o limite como uma integral definida, basta identificar o intervalo de integração, que no caso é de
a
, e a função
que já identificamos. Assim, a integral correspondente será:
Resposta
O limite pode ser expresso como a integral definida: