Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado:
lim n infty sumi=1^n sin xi1+xi De

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite que envolve uma soma e queremos reescrevê-lo como uma integral definida no intervalo de a . O conteúdo aqui é Cálculo Integral, especificamente o conceito de soma de Riemann e como ela se relaciona com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar identificar a função que está sendo somada e o intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma soma de Riemann. Basicamente, é uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenos pedaços (chamados de subintervalos) e somando as áreas de retângulos que ficam sobre esses pedaços. Quando o número de subintervalos aumenta para o infinito, a soma de Riemann se aproxima da integral definida da função no intervalo.

Passo 3

Na soma que temos:
sumi=1^n sin xi1+xi De
a parte representa a altura do retângulo em cada subintervalo, ou seja, é a função . A representa a largura de cada subintervalo. O limite quando significa que estamos considerando infinitos subintervalos, o que nos leva exatamente à definição de uma integral definida.

Passo 4

Agora, para escrever o limite como uma integral definida, basta identificar o intervalo de integração, que no caso é de integral0^pi sin x1+x , dx a , e a função que já identificamos. Assim, a integral correspondente será:

Resposta

O limite pode ser expresso como a integral definida:
integral0^pi sin x1+x , dx

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