Estude as convergências das sequências (an) :
(2 n+13 n+2)^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência definida por an=l(2n+13n+2r)^n. O conteúdo principal aqui é limite de sequência do tipo exponencial; vamos usar expansão assintótica da base e a forma (1+xn)^nto e^lim n xn quando xnto0.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a fração interna de modo a evidenciar seu comportamento quando n é grande. Note que
2n+13n+2=23,1+tfrac12n1+tfrac23napprox 23l(1+tfrac12nr)l(1-tfrac23nr)=23l(1-tfrac16n+o(1/n)r)

Passo 3

Com isso
an=l(tfrac23r)^nl(1-tfrac16n+o(1/n)r)^n

Passo 4

Sabemos que (2/3)^nto0 pois 2/3<1. E também vale
limntoinftyl(1-tfrac16n+o(1/n)r)^n=e^-1/6

Passo 5

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an=(2/3)^ncdot(1-1/(6n)+o(1/n))^nto0cdot e^-1/6=0

Resposta

A sequência converge para 0.

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